A aresta da base de uma pirâmide regular hexagonal mede 3 m . Calcule a altura e o volume dessa pirâmide, sendo a superfície lateral 10 vezes a área da base.

Passo 1

O enunciado dá uma pirâmide de base hexagonal regular com aresta da base s=3 m e diz que a área lateral S_{l} é 10 vezes a área da base A_{b}. Pede-se a altura h da pirâmide e o volume V. Vamos usar:
1. Fórmula da área de um hexágono regular.
2. Expressão da área lateral de uma pirâmide regular em função do lado s e da altura lateral l.
3. Relação entre altura lateral, apótema da base e altura da pirâmide.
4. Fórmula do volume V=\tfrac{1}{3}A_{b}h.

Passo 2

A área da base de um hexágono regular de lado s vale
A_{b} = \frac{3\sqrt{3}}{2}\,s^{2}
Substituindo s=3,
A_{b} = \frac{3\sqrt{3}}{2}\times 3^{2} = \frac{27\sqrt{3}}{2}\\ \text{m}^{2}.

Passo 3

A área lateral é soma de 6 triângulos de base s e altura lateral l:
S_{l} = 6\cdot\frac{1}{2}\,s\,l = 3\,s\,l.
Como S_{l}=10\,A_{b}, temos
3\,s\,l = 10\,A_{b} \quad\Longrightarrow\quad l = \frac{10\,A_{b}}{3\,s} = \frac{10\cdot \tfrac{27\sqrt{3}}{2}}{3\cdot 3} = 15\sqrt{3}\\ \text{m}.

Passo 4

O apótema do hexágono (distância do centro ao lado) é
a = \frac{s\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}\\ \text{m}.

Passo 5

No triângulo retângulo formado por h, a e l vale
h = \sqrt{\,l^{2}-a^{2}\,} = \sqrt{\,(15\sqrt{3})^{2} - \Bigl(\tfrac{3\sqrt{3}}{2}\Bigr)^{2}\,} = \frac{9\sqrt{33}}{2}\\ \text{m}.

Passo 6

O volume da pirâmide é
V = \frac{1}{3}\,A_{b}\,h = \frac{1}{3}\times \frac{27\sqrt{3}}{2}\times \frac{9\sqrt{33}}{2} = \frac{243\sqrt{11}}{4}\\ \text{m}^{3}.

Resposta

A altura da pirâmide é h = \tfrac{9\sqrt{33}}{2} m e o volume é V = \tfrac{243\sqrt{11}}{4} m^{3}.

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