Na troposfera, o ozônio pode ser convertido em \mathrm{O}_{2}(g) através da seguinte reação com radicais de óxido de hidrogênio: \mathrm{HO} .(g)+\mathrm{O}_{3}(g) \rightarrow \mathrm{HO}_{2}(g)+\mathrm{O}_{2}(g)
Os seguintes valores para a constante de velocidade, k, para essa reação foram medidos em experimentos em diversas temperaturas.
k\left(\mathrm{Lmol}^{-1} \mathrm{~s}^{-1}\right) Temperatura,(C)
1,0^{*} 10^{7} 220
5,1^{*} 10^{7} 340
1,1^{*} 10^{8} 450
Essa reação exibe comportamento de Arrenhius? Calcule a energia de ativação?

Passo 1

O enunciado dá a constante de velocidade k medida em três temperaturas (em graus Celsius) para a reação
\mathrm{HO}\cdot(g)+\mathrm{O}_3(g)\rightarrow\mathrm{HO}_2(g)+\mathrm{O}_2(g).
Dados fornecidos (peguei os valores direto da tabela do enunciado):
\begin{array}{ll} k & \text{Temperatura (}\,^{\circ}\mathrm{C}\,)\\[2pt]\hline 1{,}0\times10^{7}\\ \mathrm{L\;mol^{-1}\;s^{-1}} & 220\\[2pt] 5{,}1\times10^{7}\\ \mathrm{L\;mol^{-1}\;s^{-1}} & 340\\[2pt] 1{,}1\times10^{8}\\ \mathrm{L\;mol^{-1}\;s^{-1}} & 450 \end{array}
Perguntas que o enunciado faz:
  • Essa reação exibe comportamento de Arrhenius?
  • Calcule a energia de ativação E_a.]

Passo 2

O que significa “comportamento de Arrhenius” e como testamos?
A equação de Arrhenius é
k = A\,e^{-E_a/(R\,T)},
onde:
  • k é a constante de velocidade (aqui dada),
  • A é o fator pré-exponencial (constante),
  • E_a é a energia de ativação (o que queremos),
  • R é a constante dos gases (vou usar \,R=8{,}314\\ \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}}),
  • T é a temperatura em kelvin.
    Tomando logaritmo natural, obtemos a forma linear
\ln k = \ln A - \frac{E_a}{R}\cdot\frac{1}{T}.
Portanto, se a reação segue Arrhenius, um gráfico de \ln k vs. 1/T deve ser aproximadamente uma reta. A inclinação dessa reta é m=-E_a/R. Daí podemos calcular E_a = -m R.

Passo 3

Converter temperaturas de ^\circ\mathrm{C} para kelvin (peguei as temperaturas da tabela):
\begin{aligned} T_1 &= 220{,}0+273{,}15 = 493{,}15\\ \mathrm{K},\\\ T_2 &= 340{,}0+273{,}15 = 613{,}15\\ \mathrm{K},\\\ T_3 &= 450{,}0+273{,}15 = 723{,}15\\ \mathrm{K}. \end{aligned}

Passo 4

Calcular 1/T para cada temperatura (em \mathrm{K^{-1}}):
\begin{aligned} \frac{1}{T_1} &= 0{,}0020276428\\ \mathrm{K^{-1}},\\\ \frac{1}{T_2} &= 0{,}0016315789\\ \mathrm{K^{-1}},\\\ \frac{1}{T_3} &= 0{,}0013829986\\ \mathrm{K^{-1}}. \end{aligned}

Passo 5

Calcular \ln k para cada k (peguei os k da tabela):
\begin{aligned} \ln k_1 &= \ln\!\bigl(1{,}0\times10^{7}\bigr)=16{,}11809565,\\\ \ln k_2 &= \ln\!\bigl(5{,}1\times10^{7}\bigr)=17{,}74733619,\\\ \ln k_3 &= \ln\!\bigl(1{,}1\times10^{8}\bigr)=18{,}51599092. \end{aligned}
Obs.: mostrei os valores de \ln k para você poder montar mentalmente o gráfico \ln k vs. 1/T.

Passo 6

Verificação rápida de linearidade (checando declives entre pares de pontos)
\begin{aligned} m_{12} &= \frac{\ln k_2-\ln k_1}{(1/T_2)-(1/T_1)} = \frac{17{,}74733619-16{,}11809565}{0{,}0016315789-0{,}0020276428} \approx -4{,}115\times10^{3},\\[4pt] m_{23} &= \frac{\ln k_3-\ln k_2}{(1/T_3)-(1/T_2)} = \frac{18{,}51599092-17{,}74733619}{0{,}0013829986-0{,}0016315789} \approx -3{,}093\times10^{3}. \end{aligned}
Os declives entre pares não coincidem exatamente (há alguma dispersão), mas são ambos negativos e da mesma ordem de grandeza, o que já sugere comportamento aproximadamente Arrhenius. Para uma estimativa melhor de E_a usamos ajuste linear (mínimos quadrados) com os três pontos.]

Passo 7

Ajuste linear por mínimos quadrados (variáveis: x=1/T e y=\ln k, N=3). Calcular as somas necessárias (mostro as contas para você poder replicar sem calculadora com atenção):
\begin{aligned} \sum x &= 0{,}0050422203,\\\ \sum y &= 52{,}38142276,\\\ \sum xy &= 0{,}087262489,\\\ \sum x^2 &= 0{,}000008686812. \end{aligned}
A inclinação do ajuste é
m=\frac{N\sum xy - (\sum x)(\sum y)}{N\sum x^2 - (\sum x)^2}.
Substituindo os números:
m \approx \frac{3\cdot0{,}087262489 - 0{,}0050422203\cdot52{,}38142276}{3\cdot0{,}000008686812 - (0{,}0050422203)^2} \approx -3658{,}6\\ \mathrm{K}.
Lembre que m=-E_a/R.

Passo 8

Calcular E_a a partir do declive:
E_a = -m\,R.
Usando \,R=8{,}314\\ \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}},
E_a \approx 3658{,}6\times8{,}314 \approx 30\,418\\ \mathrm{J\;mol^{-1}} \approx 30{,}4\\ \mathrm{kJ\;mol^{-1}}.
Arredondei para três dígitos significativos: E_a \approx 30{,}4\\ \mathrm{kJ\;mol^{-1}}.

Passo 9

Interpretação final sobre comportamento de Arrhenius:
  • Os três pontos de \ln k vs. 1/T estão aproximadamente alinhados (as inclinações parciais deram valores da mesma ordem de grandeza), então a reação apresenta comportamento compatível com Arrhenius dentro da precisão dos dados experimentais.
  • Há alguma dispersão (os declives parciais entre pares não são idênticos), então os dados não são perfeitamente ideais, mas permitem estimar E_a com razoável confiança.

Resposta

Sim — os pontos são aproximadamente lineares, compatível com comportamento de Arrhenius.
E_a \approx 30{,}4\\ \mathrm{kJ\;mol^{-1}}

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