Calcule a energia de ativação, E_{\mathrm{a}}, para reação: \mathrm{N}_{2} \mathrm{O}_{5}(\mathrm{~g}) \rightarrow 2 \mathrm{NO}_{2}(\mathrm{~g})+\frac{1}{2} \mathrm{O}_{2}(\mathrm{~g}) a partir das constantes de velocidade observadas:
k,\left(\mathrm{Lmol}^{-1} \mathrm{~s}^{-1}\right) Temperatura \left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right)\\ \\\ \hline \(3,46^{*} 10^{-5} 25
1,50^{*} 10^{-3} 55
1,1^{*} 10^{8} ?
)

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a energia de ativação E_{\mathrm{a}} para a reação
\mathrm{N}_{2}\mathrm{O}_{5}(\mathrm{g}) \rightarrow 2\,\mathrm{NO}_{2}(\mathrm{g}) + \tfrac{1}{2}\,\mathrm{O}_{2}(\mathrm{g}).
Informações fornecidas (peguei estes valores diretamente da tabela do enunciado):
k_{1}=3,46\times 10^{-5}\\ \mathrm{L\,mol^{-1}\,s^{-1}},\quad T_{1}=25^\circ\mathrm{C}
k_{2}=1,50\times 10^{-3}\\ \mathrm{L\,mol^{-1}\,s^{-1}},\quad T_{2}=55^\circ\mathrm{C}
Há uma terceira constante k_{3}=1,1\times 10^{8}\\ \mathrm{L\,mol^{-1}\,s^{-1}} com temperatura desconhecida, mas para encontrar E_{\mathrm{a}} usaremos os pares (k_{1},T_{1}) e (k_{2},T_{2}) que estão completos. A pergunta principal é: calcular E_{\mathrm{a}}.

Passo 2

Apresentação da ferramenta: equação de Arrhenius e dedução da fórmula prática.
A equação de Arrhenius relaciona a constante de velocidade k com a temperatura T:
k = A \, e^{-E_{\mathrm{a}}/(R T)},
onde
  • A é o fator pré-exponencial (constante),
  • E_{\mathrm{a}} é a energia de ativação (em \mathrm{J\;mol^{-1}}),
  • R é a constante universal dos gases ( R=8,314\\ \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}}),
  • T é a temperatura em kelvin ( \mathrm{K}).
Para eliminar A e obter E_{\mathrm{a}} a partir de duas medidas (k_{1},T_{1}) e (k_{2},T_{2}) tomamos o logaritmo natural e subtraímos as duas equações, obtendo a forma útil:
\ln\!\left(\frac{k_{2}}{k_{1}}\right) = -\frac{E_{\mathrm{a}}}{R}\left(\frac{1}{T_{2}}-\frac{1}{T_{1}}\right).
Dessa equação isolamos E_{\mathrm{a}}:
E_{\mathrm{a}} = -R\; \frac{\ln\!\left(\dfrac{k_{2}}{k_{1}}\right)}{\dfrac{1}{T_{2}}-\dfrac{1}{T_{1}}}.
Explico as variáveis novamente para ficar claro: \ln(k_{2}/k_{1}) é o logaritmo natural da razão das constantes de velocidade; \dfrac{1}{T_{2}}-\dfrac{1}{T_{1}} é a diferença dos recíprocos das temperaturas em kelvin. Essa expressão dá E_{\mathrm{a}} em \mathrm{J\;mol^{-1}} se usarmos R em \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}}.

Passo 3

Converter temperaturas de Celsius para Kelvin (passo obrigatório na Arrhenius):
T(\mathrm{K}) = T({}^\circ\mathrm{C}) + 273,15.
Assim,
T_{1}=25^\circ\mathrm{C} \Rightarrow T_{1}=25+273,15=298,15\\ \mathrm{K},
T_{2}=55^\circ\mathrm{C} \Rightarrow T_{2}=55+273,15=328,15\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Calcular a razão das constantes e o seu logaritmo natural. Primeiro a razão:
\frac{k_{2}}{k_{1}}=\frac{1,50\times 10^{-3}}{3,46\times 10^{-5}}.
Faço a divisão passo a passo: \dfrac{1,50\times 10^{-3}}{3,46\times 10^{-5}}=\dfrac{0,00150}{0,0000346}=43,352601 (aproximadamente). Agora o logaritmo natural:
\ln\!\left(\frac{k_{2}}{k_{1}}\right)=\ln(43,352601)\approx 3,768686.

Passo 5

Calcular a diferença dos recíprocos das temperaturas:
\frac{1}{T_{2}}-\frac{1}{T_{1}}=\frac{1}{328,15}-\frac{1}{298,15}.
Calculo cada termo:
\frac{1}{328,15}\approx 0,00304705817\\ \mathrm{K^{-1}},
\frac{1}{298,15}\approx 0,00335401643\\ \mathrm{K^{-1}},
então
\frac{1}{T_{2}}-\frac{1}{T_{1}}\approx -0,00030695826\\ \mathrm{K^{-1}}.

Passo 6

Substituir tudo na fórmula para obter E_{\mathrm{a}}. Usamos R=8,314\\ \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}}.
E_{\mathrm{a}} = -R\; \frac{\ln\!\left(\dfrac{k_{2}}{k_{1}}\right)}{\dfrac{1}{T_{2}}-\dfrac{1}{T_{1}}} = -8,314\cdot \frac{3,768686}{-0,00030695826}.
Observa que o denominador é negativo e o numerador também possui o sinal negativo da fórmula, resultando em E_{\mathrm{a}}>0. Agora a conta:
E_{\mathrm{a}}\approx \frac{8,314\times 3,768686}{0,00030695826}\approx 1,02146\times 10^{5}\\ \mathrm{J\;mol^{-1}}.
Converter para unidades mais usuais:
E_{\mathrm{a}}\approx 102,1\\ \mathrm{kJ\;mol^{-1}}.

Passo 7

Verificação rápida e arredondamento: com os dados fornecidos e considerando o número de algarismos significativos dos k, é razoável reportar E_{\mathrm{a}} com três algarismos significativos como 1,02\times 10^{5}\\ \mathrm{J\;mol^{-1}} ou 102\\ \mathrm{kJ\;mol^{-1}}. Acho que você conseguiu — já dá pra usar essa estratégia com outros pares de k,T na prova!

Resposta

E_{\mathrm{a}}=1,02\times 10^{5}\\ \mathrm{J\;mol^{-1}} = 102\\ \mathrm{kJ\;mol^{-1}}

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