Troque a ordem de integração e calcule:
Passo 1
O enunciado fornece a integral dupla
e pede para trocar a ordem de integração e calcular o valor numérico da integral.
Informações dadas:
Informações dadas:
- O integrando é
. - As variáveis e limites originais são:
e, para cada , . - A região de integração é o conjunto de pontos
tais que e .
Passo 2
Descrever geometricamente a região e encontrar os novos limites (trocar a ordem).
A condição e
significa que a região é o triângulo no quadrado unitário acima da diagonal
. Para trocar a ordem, fixa-se
e determina-se o intervalo de
:
A condição
-
varia do menor ao maior valor que aparece na região: . - Para um
fixo nessa faixa, vai do valor mínimo até a diagonal .
Portanto a integral com ordem trocada é
Passo 3
Calcular a integral interna em
.
Observação: o integrando não depende de
, logo ao integrar em
obtemos simplesmente um fator
. Formalmente:
Observação: o integrando
Assim a integral dupla reduz-se a uma integral simples em
:
Passo 4
Calcular
por substituição.
Explicação da técnica (substituição): quando a integranda tem a forma é natural fazer
, pois
, transformando a integral para uma função mais simples em
. Aqui temos
: note que a derivada de
é
, então escolhemos
.
Fazendo a substituição:
Explicação da técnica (substituição): quando a integranda tem a forma
Fazendo a substituição:
Os limites em
transformam-se: quando
então
; quando
então
. Assim
Integrando
em
:
Passo 5
Comentário final útil para a prova: integrar
diretamente em
não tem primitiva elementar, por isso trocar a ordem de integração foi o truque — ao integrar primeiro em
, o integrando passa a depender apenas de
de forma que a substituição
resolve a integral de maneira simples. Boa! Esse tipo de padrão (região triangular e integrando independente de uma variável) é um caso clássico para trocar a ordem.