Troque a ordem de integração e calcule:
\int_{0}^{1} \int_{y}^{1} e^{x^{2}} d x d y

Passo 1

O enunciado fornece a integral dupla
\int_{0}^{1}\int_{y}^{1} e^{x^{2}}\,dx\,dy
e pede para trocar a ordem de integração e calcular o valor numérico da integral.
Informações dadas:
  • O integrando é \,e^{x^{2}}\,.
  • As variáveis e limites originais são: 0\le y\le1 e, para cada y, y\le x\le1.
  • A região de integração é o conjunto de pontos (x,y) tais que 0\le y\le1 e y\le x\le1.

Passo 2

Descrever geometricamente a região e encontrar os novos limites (trocar a ordem).
A condição 0\le y\le1 e y\le x\le1 significa que a região é o triângulo no quadrado unitário acima da diagonal x=y. Para trocar a ordem, fixa-se x e determina-se o intervalo de y:
  • x varia do menor ao maior valor que aparece na região: 0\le x\le1.
  • Para um x fixo nessa faixa, y vai do valor mínimo y=0 até a diagonal y=x.
    Portanto a integral com ordem trocada é
\int_{0}^{1}\int_{0}^{x} e^{x^{2}}\,dy\,dx.

Passo 3

Calcular a integral interna em y.
Observação: o integrando e^{x^{2}} não depende de y, logo ao integrar em y obtemos simplesmente um fator y. Formalmente:
\int_{0}^{x} e^{x^{2}}\,dy = \bigl[y\,e^{x^{2}}\bigr]_{y=0}^{y=x} = x\,e^{x^{2}} - 0 = x\,e^{x^{2}}.
Assim a integral dupla reduz-se a uma integral simples em x:
\int_{0}^{1} x\,e^{x^{2}}\,dx.

Passo 4

Calcular \int_{0}^{1} x\,e^{x^{2}}\,dx por substituição.
Explicação da técnica (substituição): quando a integranda tem a forma f'(x)\,g(f(x)) é natural fazer u=f(x), pois du=f'(x)\,dx, transformando a integral para uma função mais simples em u. Aqui temos x\,e^{x^{2}}: note que a derivada de x^{2} é 2x, então escolhemos u=x^{2}.
Fazendo a substituição:
u = x^{2},\qquad du = 2x\,dx \quad\Rightarrow\quad x\,dx = \tfrac{1}{2}\,du.
Os limites em x transformam-se: quando x=0 então u=0; quando x=1 então u=1. Assim
\int_{0}^{1} x\,e^{x^{2}}\,dx = \int_{u=0}^{1} e^{u}\cdot \tfrac{1}{2}\,du = \tfrac{1}{2}\int_{0}^{1} e^{u}\,du.
Integrando e^{u} em u:
\tfrac{1}{2}\int_{0}^{1} e^{u}\,du = \tfrac{1}{2}\bigl[e^{u}\bigr]_{0}^{1} = \tfrac{1}{2}\bigl(e^{1}-e^{0}\bigr) = \tfrac{1}{2}\bigl(e-1\bigr).

Passo 5

Comentário final útil para a prova: integrar e^{x^{2}} diretamente em x não tem primitiva elementar, por isso trocar a ordem de integração foi o truque — ao integrar primeiro em y, o integrando passa a depender apenas de x de forma que a substituição u=x^{2} resolve a integral de maneira simples. Boa! Esse tipo de padrão (região triangular e integrando independente de uma variável) é um caso clássico para trocar a ordem.

Resposta

\tfrac{e-1}{2}

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