Os limites formam um retângulo no plano: x\in[0,3] e y\in[0,2].
O objetivo é obter o valor numérico dessa integral usando o Teorema de Fubini.
Passo 2
Explicando o Teorema de Fubini (de forma prática e sem mistério):
Se uma função f(x,y) for contínua num produto de intervalos [a,b]\times[c,d] (aqui é contínua porque x y é polinômio), então a integral dupla sobre esse retângulo pode ser calculada por integrais iteradas:
Ou seja, pode-se integrar primeiro em x e depois em y, ou primeiro em y e depois em x; o resultado será o mesmo.
No nosso caso f(x,y)=x y é ainda mais simples porque separa em produto de funções de uma variável: x y = g(x)\,h(y) com g(x)=x e h(y)=y. Para funções separáveis em um retângulo, a integral dupla é o produto das integrais simples (mas vou mostrar o cálculo passo a passo com iteradas, que é o procedimento exigido).
Passo 3
Vamos integrar primeiro em x (como está escrito no enunciado). Considere a integral interna
\int_{0}^{3} x y \, d x.
Aqui y é tratado como constante ao integrar em x. Posso fatorar y para fora da integral em x:
\int_{0}^{3} x y \, d x = y \int_{0}^{3} x \, d x.
Agora integro \int_{0}^{3} x \, d x. A primitiva de x em relação a x é \dfrac{x^{2}}{2}. Portanto
\int_{0}^{3} x \, d x = \left.\dfrac{x^{2}}{2}\right|_{0}^{3} = \dfrac{3^{2}}{2}-\dfrac{0^{2}}{2} = \dfrac{9}{2}.
Substituindo de volta:
\int_{0}^{3} x y \, d x = y \cdot \dfrac{9}{2} = \dfrac{9}{2}\,y.
Passo 4
Agora integro em y o resultado da integral interna:
\int_{0}^{2} \left(\dfrac{9}{2}\,y\right) d y = \dfrac{9}{2} \int_{0}^{2} y \, d y.
A primitiva de y em relação a y é \dfrac{y^{2}}{2}. Logo
\int_{0}^{2} y \, d y = \left.\dfrac{y^{2}}{2}\right|_{0}^{2} = \dfrac{2^{2}}{2}-0 = \dfrac{4}{2} = 2.
Multiplicando:
\dfrac{9}{2} \cdot 2 = 9.
Passo 5
Para reforçar a ideia do Teorema de Fubini, posso checar trocando a ordem das integrais (integrar primeiro em y e depois em x). Fazendo isso:
\int_{0}^{3} \left( \int_{0}^{2} x y \, d y \right) d x = \int_{0}^{3} x \left( \int_{0}^{2} y \, d y \right) d x = \int_{0}^{3} x \cdot 2 \, d x = 2 \int_{0}^{3} x \, d x = 2 \cdot \dfrac{9}{2} = 9,