Determine se a função
f(x, y)=\frac{x y}{x^{2}+y^{2}}
é integrável no quadrado [-1,1] \times[-1,1].

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\frac{x y}{x^{2}+y^{2}}
e pede para determinar se ela é integrável no quadrado [-1,1]\times[-1,1].
Informações relevantes tiradas do enunciado:
  • A função está escrita como uma razão de polinômios; o denominador x^{2}+y^{2} anula-se somente em (x,y)=(0,0).
  • O domínio onde se quer a integrabilidade é o quadrado [-1,1]\times[-1,1], que é um conjunto compacto em \mathbb{R}^{2}.
  • Pergunta: a função é (Riemann) integrável nesse quadrado?
Observação importante (ainda não resolvo nada): a função, na forma dada, não está definida em (0,0). Para falar de integrabilidade Riemanniana é comum definir o valor em (0,0) arbitrariamente (por exemplo zero); isso não altera se a função é integrável nem o valor da integral, porque um ponto isolado tem medida nula. Vou proceder definindo f(0,0)=0 quando for necessário.

Passo 2

Mostro que a função (com a definição f(0,0)=0) é limitada no quadrado — passo fundamental porque a propriedade de integrabilidade Riemanniana exige função limitada.
Para (x,y)\neq(0,0) uso a desigualdade clássica obtida de (x-y)^{2}\ge0:
(x-y)^{2}\ge0\quad\Longrightarrow\quad x^{2}+y^{2}\ge 2xy.
Substituindo xy por |xy| (porque a desigualdade com (x+y)^{2} também dá x^{2}+y^{2}\ge 2|xy|), uma forma mais direta é observar que
2|xy|\le x^{2}+y^{2}.
Dividindo ambos os lados por x^{2}+y^{2}>0 obtemos, para (x,y)\neq(0,0),
\left|\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}\right|\le\frac{1}{2}.
Portanto |f(x,y)|\le\frac{1}{2} para todo (x,y)\neq(0,0). Definindo f(0,0)=0 temos |f(0,0)|=0\le\frac12. Logo a função estendida é limitada por \frac12 no quadrado.
Explicação didática rápida: a desigualdade usada é uma técnica padrão para controlar produtos por soma de quadrados; garante que o numerador não cresce mais rápido que o denominador.

Passo 3

Analiso os pontos de continuidade da função estendida.
Para qualquer ponto (a,b) com (a,b)\neq(0,0) a expressão \dfrac{xy}{x^{2}+y^{2}} é quociente de funções polinomiais com denominador não nulo, portanto é contínua nesses pontos. Assim quaisquer possíveis descontinuidades só podem ocorrer em (0,0), o único ponto onde o denominador zera.

Passo 4

Verifico a continuidade (ou não) em (0,0).
Calculo limites ao longo de retas passando pela origem. Para y=mx com m\in\mathbb{R} e x\to 0 (linha de inclinação m) temos, para x\neq0,
f(x,mx)=\frac{x\cdot (m x)}{x^{2}+(m x)^{2}}=\frac{m x^{2}}{x^{2}(1+m^{2})}=\frac{m}{1+m^{2}}.
Esse valor não depende de x (quando x\neq0); depende de m. Como diferentes inclinações m dão limites diferentes (por exemplo, para m=0 o valor é 0, para m=1 o valor é \tfrac{1}{2}), o limite \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) não existe. Portanto, mesmo definindo f(0,0)=0, a função é descontínua em (0,0).
Conclusão desta etapa: o conjunto de pontos de descontinuidade da função estendida é exatamente o conjunto \{(0,0)\}.

Passo 5

Aplico o critério de integrabilidade (critério de Lebesgue para integrabilidade de Riemann em \mathbb{R}^{2}) e concluo.
Teoria que uso (explicada de forma simples): uma função limitada em um retângulo de \mathbb{R}^{2} é Riemann integrável se, e somente se, o conjunto de pontos onde ela é descontínua tem medida zero (ou seja, área zero). Um exemplo simples de conjunto de medida zero é qualquer conjunto finito, em particular um único ponto.
Aqui:
  • Já provamos que a função estendida é limitada no quadrado.
  • O conjunto de descontinuidades é \{(0,0)\}, que tem medida zero.
Portanto, pela criteriosa teoria, a função estendida é Riemann integrável em [-1,1]\times[-1,1].
Comentário amigo: definir o valor num único ponto não bagunça nada — pontos isolados não afetam a integrabilidade nem a integral.

Passo 6

(Seguindo a sua preferência por ver aplicações passo a passo: cálculo rápido do valor da integral, que é um bônus útil para a prova.)
Mostro que o valor da integral dupla é zero por simetria. Note que, para todo (x,y),
f(-x,y)=\frac{(-x)y}{(-x)^{2}+y^{2}}=-\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}=-f(x,y).
Ou seja, f é ímpar em x. O quadrado é simétrico em x: se (x,y) percorre [-1,1]\times[-1,1], também (-x,y) percorre o mesmo conjunto. Assim, ao integrar em x sobre o intervalo simétrico [-1,1] os valores de f(x,y) e f(-x,y) se cancelam para cada y. Uma maneira direta e rigorosa é fazer a substituição u=-x na integral:
\iint_{[-1,1]^2} f(x,y)\,dx\,dy = \int_{-1}^{1}\left(\int_{-1}^{1} f(x,y)\,dx\right)dy.
Para cada y fixo, a função x\mapsto f(x,y) é integrável e ímpar no intervalo [-1,1], então \int_{-1}^{1} f(x,y)\,dx=0. Logo a integral dupla vale zero:
\iint_{[-1,1]^2} f(x,y)\,dx\,dy=0.

Resposta

Sim. A função (estendida, por exemplo com f(0,0)=0) é Riemann integrável em [-1,1]\times[-1,1].
Além disso, \displaystyle \iint_{[-1,1]^2} \frac{xy}{x^{2}+y^{2}}\,dx\,dy = 0.

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