Troque a ordem de integração e resolva:
.
Passo 1
O enunciado pede que eu troque a ordem de integração da integral dupla e a resolva. As informações dadas são:
- A variável externa é
com . - Para cada
dessa faixa, a variável interna varia de até . - Objetivo: reescrever a integral trocando a ordem (integrar primeiro em
e depois em ) e calcular o valor numérico.
Passo 2
Vou descrever a região de integração
no plano
definida pelas desigualdades:
Essas duas curvas que definem o domínio são:
As interseções entre as curvas na faixa relevante satisfazem
, que dá
ou
. Logo a região
é a “fatia” entre a parábola e a reta, para
de
a
.
Passo 3
Para trocar a ordem, preciso expressar
como:
Primeiro determino o intervalo total de
sobre
. Como para
temos
e
,
varia globalmente entre
e
. Portanto:
Passo 4
Para um
fixo em
, encontro os
que satisfazem as duas desigualdades
e
simultaneamente.
- Da desigualdade
com segue . - Da desigualdade
segue .
Assim, para cadaos válidos são aqueles com
Note que para
vale
, então o intervalo está bem definido (ex.: para
temos
).
Passo 5
Agora escrevo a integral com a ordem trocada (integrando primeiro em
, depois em
):
Passo 6
Calculo a integral interna em
. Como
é tratado como constante nessa integração,
Avalio a expressão:
Passo 7
Agora integro em
de
a
:
Avalio no intervalo: