Troque a ordem de integração e resolva:
\int_{0}^{1}\left[\int_{x^{2}}^{x} x y d y\right] d x.

Passo 1

O enunciado pede que eu troque a ordem de integração da integral dupla e a resolva. As informações dadas são:
\int_{0}^{1}\left[\int_{x^{2}}^{x} x\,y\,dy\right]dx.
  • A variável externa é x com \;0\le x\le1.
  • Para cada x dessa faixa, a variável interna y varia de \;y=x^{2} até \;y=x.
  • Objetivo: reescrever a integral trocando a ordem (integrar primeiro em x e depois em y) e calcular o valor numérico.

Passo 2

Vou descrever a região de integração D no plano xy definida pelas desigualdades:
0\le x\le1,\qquad x^{2}\le y\le x.
Essas duas curvas que definem o domínio são:
y=x^{2}\quad\text{(parábola)}\qquad\text{e}\qquad y=x\quad\text{(reta)}.á
As interseções entre as curvas na faixa relevante satisfazem x^{2}=x, que dá x=0 ou x=1. Logo a região D é a “fatia” entre a parábola e a reta, para x de 0 a 1.

Passo 3

Para trocar a ordem, preciso expressar D como:
\{(x,y)\mid y_{\min}\le y\le y_{\max},\; x_{\text{min}}(y)\le x\le x_{\text{max}}(y)\}.
Primeiro determino o intervalo total de y sobre D. Como para 0\le x\le1 temos x^{2}\ge0 e x\le1, y varia globalmente entre 0 e 1. Portanto:
0\le y\le 1.

Passo 4

Para um y fixo em [0,1], encontro os x que satisfazem as duas desigualdades x^{2}\le y e y\le x simultaneamente.
  • Da desigualdade x^{2}\le y com x\ge0 segue x\le \sqrt{y}.
  • Da desigualdade y\le x segue x\ge y.
    Assim, para cada y\in[0,1] os x válidos são aqueles com
y\le x\le \sqrt{y}.
Note que para y\in[0,1] vale y\le\sqrt{y}, então o intervalo está bem definido (ex.: para y=0{,}25 temos 0{,}25\le x\le 0{,}5).

Passo 5

Agora escrevo a integral com a ordem trocada (integrando primeiro em x, depois em y):
\int_{0}^{1}\!\left[\int_{x^{2}}^{x} x\,y\,dy\right]dx = \int_{0}^{1}\!\left[\int_{y}^{\sqrt{y}} x\,y\,dx\right]dy.

Passo 6

Calculo a integral interna em x. Como y é tratado como constante nessa integração,
\int_{y}^{\sqrt{y}} x\,y\,dx = y\int_{y}^{\sqrt{y}} x\,dx = y\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{x=y}^{x=\sqrt{y}}.
Avalio a expressão:
y\left(\frac{(\sqrt{y})^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{2}\right) = y\left(\frac{y}{2}-\frac{y^{2}}{2}\right) = \frac{1}{2}y\bigl(y-y^{2}\bigr) = \frac{1}{2}y^{2}(1-y).

Passo 7

Agora integro em y de 0 a 1:
\int_{0}^{1}\frac{1}{2}y^{2}(1-y)\,dy =\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\bigl(y^{2}-y^{3}\bigr)\,dy =\frac{1}{2}\left[\frac{y^{3}}{3}-\frac{y^{4}}{4}\right]_{0}^{1}.
Avalio no intervalo:
\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right) =\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{12} =\frac{1}{24}.

Resposta

\frac{1}{24}

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