Troque a ordem de integração e resolva:
\int_{0}^{1}\left[\int_{y}^{\sqrt{y}} x y d x\right] d y.

Passo 1

O enunciado dá a integral iterada
\int_{0}^{1}\left[\int_{y}^{\sqrt{y}} x\,y\,dx\right]dy.
O que precisa ser feito:
  1. Trocar a ordem de integração (ou seja, escrever a integral como \int_{x=\;?}^{\;?}\int_{y=\;?}^{\;?} x\,y\,dy\,dx).
  2. Calcular o valor numérico da integral após trocar a ordem.
Informações importantes que o enunciado fornece:
\; - o integrando é x\,y.
\; - a variável interna (primeira a integrar) é x, com x variando entre x=y e x=\sqrt{y}.
\; - a variável externa é y, com y variando entre 0 e 1.

Passo 2

Vamos entender a região R do plano (x,y) sobre a qual estamos integrando. A região é dada por
R=\{(x,y)\mid 0\le y\le 1,\; y\le x\le \sqrt{y}\}.
Quero visualizar isso: para cada y entre 0 e 1 tomamos x de x=y até x=\sqrt{y}. Antes de inverter, confirme que para y\in[0,1] vale \sqrt{y}\ge y. Uma forma simples de ver isso é: para 0\le y\le 1 temos y^2\le y, e tomando raiz quadrada não-negativa obtemos \sqrt{y}\ge y. Então o intervalo em x faz sentido (o limite inferior é menor ou igual ao superior).

Passo 3

Agora queremos descrever a mesma região R trocando a ordem: para cada x fixo, quais valores de y são permitidos? As desigualdades que definem R são
y\le x\quad\text{e}\quad x\le \sqrt{y}.
Da segunda desigualdade, como x\ge 0 na região considerada (porque \sqrt{y}\ge 0), podemos elevar ao quadrado e obter
x^2\le y.
Juntando com y\le x obtemos
x^2\le y\le x.
Para que esse intervalo em y exista é preciso que x^2\le x, ou seja x\in[0,1]. Logo, ao trocar a ordem, x varia de 0 a 1 e, para cada x fixo, y varia de y=x^2 até y=x. Assim a integral com ordem trocada é
\int_{0}^{1}\int_{x^{2}}^{x} x\,y\,dy\,dx.

Passo 4

Agora calculamos a integral interna em y. Como x é tratado como constante nessa integração, temos
\int_{x^{2}}^{x} x\,y\,dy = x\int_{x^{2}}^{x} y\,dy.
Calcule a primitiva de y: \displaystyle \int y\,dy = \frac{y^{2}}{2}. Portanto
x\int_{x^{2}}^{x} y\,dy = x\left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{y=x^{2}}^{y=x} = x\left(\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{4}}{2}\right).
Simplificando,
x\left(\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{4}}{2}\right)=\frac{x^{3}-x^{5}}{2}.

Passo 5

Agora integramos em x de 0 a 1:
\int_{0}^{1}\frac{x^{3}-x^{5}}{2}\,dx=\frac{1}{2}\left(\int_{0}^{1}x^{3}\,dx-\int_{0}^{1}x^{5}\,dx\right).
Calcule as primitivas dos monômios: \displaystyle \int x^{3}\,dx=\frac{x^{4}}{4} e \displaystyle \int x^{5}\,dx=\frac{x^{6}}{6}. Assim
\frac{1}{2}\left[\frac{x^{4}}{4}-\frac{x^{6}}{6}\right]_{0}^{1} =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{6}\right).
Efetuando a subtração dentro do parêntese:
\frac{1}{4}-\frac{1}{6}=\frac{3-2}{12}=\frac{1}{12}.
Multiplicando por \tfrac{1}{2} obtemos
\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{12}=\frac{1}{24}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{24}

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