Troque a ordem de integração e resolva:
.
Passo 1
O enunciado dá a integral iterada
O que precisa ser feito:
- Trocar a ordem de integração (ou seja, escrever a integral como
). - Calcular o valor numérico da integral após trocar a ordem.
Informações importantes que o enunciado fornece:
- o integrando é
.
- a variável interna (primeira a integrar) é
, com
variando entre
e
.
- a variável externa é
, com
variando entre
e
.
Passo 2
Vamos entender a região
do plano
sobre a qual estamos integrando. A região é dada por
Quero visualizar isso: para cada
entre
e
tomamos
de
até
. Antes de inverter, confirme que para
vale
. Uma forma simples de ver isso é: para
temos
, e tomando raiz quadrada não-negativa obtemos
. Então o intervalo em
faz sentido (o limite inferior é menor ou igual ao superior).
Passo 3
Agora queremos descrever a mesma região
trocando a ordem: para cada
fixo, quais valores de
são permitidos? As desigualdades que definem
são
Da segunda desigualdade, como
na região considerada (porque
), podemos elevar ao quadrado e obter
Juntando com
obtemos
Para que esse intervalo em
exista é preciso que
, ou seja
. Logo, ao trocar a ordem,
varia de
a
e, para cada
fixo,
varia de
até
. Assim a integral com ordem trocada é
Passo 4
Agora calculamos a integral interna em
. Como
é tratado como constante nessa integração, temos
Calcule a primitiva de
:
. Portanto
Simplificando,
Passo 5
Agora integramos em
de
a
:
Calcule as primitivas dos monômios:
e
. Assim
Efetuando a subtração dentro do parêntese:
Multiplicando por
obtemos