Dada as equações, determinar \frac{d y}{d x}, a derivada de y em relação a x.
x^{3}+y^{3}=8
Passo 1
O enunciado dá a equação
x^{3}+y^{3}=8
e pede para determinar \dfrac{dy}{dx}, isto é, a derivada de y em relação a x. Informações relevantes que temos:
A relação entre x e y está dada de forma implícita (não temos y isolado).
Queremos a taxa de variação de y quando x varia, assumindo que y é função de x (ou seja, y=y(x)).
Não há valores numéricos específicos pedidos, então buscamos uma expressão geral para \dfrac{dy}{dx}.
Passo 2
Vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a x. Antes de fazer isso, preciso te lembrar duas regras fundamentais que vamos usar:
Regra do poder (power rule): se u é uma variável, \dfrac{d}{du}\big(u^{n}\big)=n\,u^{n-1}. Por exemplo, \dfrac{d}{du}(u^{3})=3u^{2}.
Regra da cadeia (chain rule): se u depende de x, ou seja u=u(x), então \dfrac{d}{dx}\big(u(x)^{n}\big)=n\,u(x)^{\,n-1}\cdot u'(x). Em palavras: derivamos a potência em relação a u e multiplicamos pela derivada de u em relação a x. Exemplo simples: se u(x)=y(x) então \dfrac{d}{dx}\big(y(x)^{3}\big)=3y(x)^{2}\cdot y'(x).
No nosso problema, quando diferenciamos y^{3} em relação a x devemos usar a regra da cadeia porque y é função de x.
Passo 3
Agora diferenciamos cada termo da equação \,x^{3}+y^{3}=8, em relação a x.
Derivada de x^{3} em relação a x é, pela regra do poder,
\dfrac{d}{dx}\big(x^{3}\big)=3x^{2}.
Derivada de y^{3} em relação a x, aplicando a regra da cadeia (pois y=y(x)), é
Portanto, derivando ambos os lados obtemos a igualdade
3x^{2}+3y^{2}\cdot \dfrac{dy}{dx}=0.
Passo 4
Agora isolamos \dfrac{dy}{dx} na igualdade obtida. Primeiro, podemos dividir toda a expressão por 3 para simplificar:
x^{2}+y^{2}\cdot \dfrac{dy}{dx}=0.
Em seguida, isolamos o termo com \dfrac{dy}{dx}:
y^{2}\cdot \dfrac{dy}{dx}=-x^{2}.
Finalmente, dividimos por y^{2} (assumindo por enquanto y\neq 0) para obter \dfrac{dy}{dx}:
\boxed{\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x^{2}}{y^{2}}.}
Essa é a expressão geral da derivada obtida por diferenciação implícita.
Passo 5
Comentário importante sobre validade: ao dividir por y^{2} supusemos y\neq 0. Se y=0 temos que tratar o caso separadamente. Se y=0 na equação original, então x^{3}+0^{3}=8 implica x^{3}=8 e assim x=2. Ou seja, o único ponto com y=0 que satisfaz a equação é (2,0). Nesse ponto a fórmula \dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x^{2}}{y^{2}} dá divisão por zero, logo a derivada é indefinida ali. Geometricamente isso corresponde a uma tangente vertical em (2,0). Uma verificação alternativa: escrevendo explicitamente y=\sqrt[3]{8-x^{3}} e derivando, chega-se a uma expressão equivalente que diverge quando x\to 2, confirmando a tangente vertical.
Passo 6
Exemplo prático para fixar: escolha x=1. Da equação temos 1^{3}+y^{3}=8\Rightarrow y^{3}=7\Rightarrow y=\sqrt[3]{7}. Aplicando a fórmula,