Um tubo de aço (K=22 Btu / h ft^circ F) e ^1/2 de espessura e 10^prime prime de diâmetro externo é utilizado para conduzir ar aquecido. O tubo é isolado com 2 camadas de materiais isolantes: a primeira de isolante de alta temperatura ( K =0,051 Btu / h ft^circ F ) com espessura de 1 e a segunda com isolante à base de magnésia ( K=0,032 Btu / h ft^circ F ) também com espessura de 1^prime prime. Sabendo que estando a temperatura da superfície interna do tubo a 1000^circ F e a temperatura da superfície externa do segundo isolante fica em 32^circ F, calcule:
Compare do fluxo de calor se houver uma troca de posicionamento dos dois isolantes

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um tubo de aço que está conduzindo ar aquecido e está isolado com duas camadas de materiais diferentes. A ideia é calcular o fluxo de calor (quanto de calor está passando) e ver como esse fluxo muda se a gente trocar a posição desses dois isolantes. Para isso, vamos precisar usar conceitos de condução de calor e resistência térmica. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos listar o que temos:
  • Tubo de aço:
    • Condutividade térmica, $ K_{aço} = 22 , Btu/(h \cdot ft \cdot °F) $
    • Espessura, $ \delta_{aço} = \frac{1}{2}’’ $
    • Diâmetro externo, $ D_{externo} = 10’’ $
  • Primeiro isolante (alta temperatura):
    • Condutividade térmica, $ K_1 = 0,051 , Btu/(h \cdot ft \cdot °F) $
    • Espessura, $ \delta_1 = 1’’ $
  • Segundo isolante (magnésia):
    • Condutividade térmica, $ K_2 = 0,032 , Btu/(h \cdot ft \cdot °F) $
    • Espessura, $ \delta_2 = 1’’ $
  • Temperaturas:
    • Superfície interna do tubo: $ T_{interna} = 1000 , °F $
    • Superfície externa do segundo isolante: $ T_{externa} = 32 , °F $
Vamos usar a fórmula de condução de calor para tubos cilíndricos, considerando a resistência térmica de cada camada.

Passo 3

Para condução de calor em formações cilíndricas, usamos a fórmula:
Q = 2 pi L (Tinterna - Texterna)ln(r2/r1) cdot K
Onde:
  • $ Q $ é o fluxo de calor (Btu/h)
  • $ L $ é o comprimento do tubo (vamos assumir 1 ft para simplificar)
  • $ r_1 $ e $ r_2 $ são os raios interno e externo da camada
  • $ K $ é a condutividade térmica
Como temos várias camadas, as resistências térmicas se somam:
Q ç
Mas uma forma mais simples é somar as resistências térmicas:
L ç
Então, $ Q = \frac{\Delta T}{R_{total}} $

Passo 4

Vamos calcular a resistência térmica de cada camada. A resistência térmica para uma camada cilíndrica é dada por:
R = ln(r2/r1)2 pi L K
Assumindo $ L = 1 , ft $, podemos simplificar a equação.
Primeiro, precisamos converter todas as espessuras para pés, já que o diâmetro está em polegadas:
L = 1 , ft
Agora, calculamos os raios:
  • Raios do tubo de aço:
    • Diâmetro externo: $ D_{aço} = 10’’ = \frac{10}{12} , ft $
    • Espessura: $ \frac{1}{2}’’ = \frac{1}{24} , ft $
    • Raio interno: $ r_{interna} = \frac{D_{aço}}{2} - \frac{1}{24} , ft $
    • Raio externo: $ r_{aço} = \frac{D_{aço}}{2} $
Vamos calcular esses valores.

Passo 5

Calculando os raios do tubo de aço:
Daço = 1012 , ft = 56 , ft approx 0,8333 , ft ç
Raio externo:
raço = Daço2 = 512 , ft approx 0,4167 , ft çç
Raio interno:
rinterna = raço - 124 , ft = 0,4167 - 0,0417 = 0,375 , ft ç
Agora, vamos calcular as resistências térmicas de cada camada.

Passo 6

Resistência do tubo de aço:
Raço = ln(raço / rinterna)2 pi L Kaço = ln(0,4167 / 0,375)2 pi cdot 1 cdot 22 ççç
Calculando:
ln(0,4167 / 0,375) = ln(1,1111) approx 0,1054
Raço = 0,10542 pi cdot 22 approx 0,1054138,2301 approx 0,000762 , (Btu/h)/°F ç
Resistência do primeiro isolante (alta temperatura):
Primeiro, calculamos os raios:
r1,interna = raço = 0,4167 , ft ç
r1,externa = r1,interna + 112 = 0,4167 + 0,0833 = 0,5 , ft
Agora, a resistência:
R1 = ln(r1,externa / r1,interna)2 pi L K1 = ln(0,5 / 0,4167)2 pi cdot 1 cdot 0,051
ln(1,2) approx 0,1823
R1 = 0,18230,320 pi approx 0,18231,0053 approx 0,181 , (Btu/h)/°F
Resistência do segundo isolante (magnésia):
Raios:
r2,interna = r1,externa = 0,5 , ft
r2,externa = r2,interna + 112 = 0,5 + 0,0833 = 0,5833 , ft
Resistência:
R2 = ln(0,5833 / 0,5)2 pi cdot 1 cdot 0,032
ln(1,1666) approx 0,1542
R2 = 0,15420,2011 approx 0,767 , (Btu/h)/°F

Passo 7

Agora, somamos todas as resistências para obter a resistência total na configuração original:
Rtotal original = Raço + R1 + R2 = 0,000762 + 0,181 + 0,767 approx 0,948 , (Btu/h)/°F ç
O fluxo de calor nessa configuração é:
Qoriginal = Tinterna - TexternaRtotal original = 1000 - 320,948 approx 9680,948 approx 1020,63 , Btu/h

Passo 8

Agora, vamos trocar as posições dos isolantes. Ou seja, o isolante de magnésia fica primeiro e o de alta temperatura fica em segundo.
Vamos recalcular as resistências nesse novo arranjo.
Novo Primeiro isolante (magnésia):
r1,interna = raço = 0,4167 , ft ç
r1,externa = r1,interna + 112 = 0,4167 + 0,0833 = 0,5 , ft
Resistência:
R'1 = ln(0,5 / 0,4167)2 pi cdot 1 cdot 0,032 = 0,10540,2011 approx 0,524 , (Btu/h)/°F
Segundo isolante (alta temperatura):
r2,interna = r1,externa = 0,5 , ft
r2,externa = r2,interna + 112 = 0,5 + 0,0833 = 0,5833 , ft
Resistência:
R'2 = ln(0,5833 / 0,5)2 pi cdot 1 cdot 0,051 = 0,15420,320 pi approx 0,15421,0053 approx 0,153 , (Btu/h)/°F
Resistência total na nova configuração:
Rtotal nova = Raço + R'1 + R'2 = 0,000762 + 0,524 + 0,153 approx 0,6778 , (Btu/h)/°F ç
Fluxo de calor nessa nova configuração:
Qnova = 1000 - 320,6778 approx 9680,6778 approx 1427,6 , Btu/h

Resposta

Comparando as duas configurações:
  • Configuração original: Fluxo de calor $ Q_{original} \approx 1021 , Btu/h $
  • Configuração trocada: Fluxo de calor $ Q_{nova} \approx 1428 , Btu/h $
Então, ao trocar a posição dos isolantes, o fluxo de calor aumenta de aproximadamente 1021 para 1428 Btu/h.

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