Um fio com 3 mm de diâmetro e 5 m de comprimento com isolante plástico, espessura de 2 mm e condutividade térmica, k=0,15 W / m^circ C. medições elétricas indicam que passa uma corrente de 10^a pelo fio e a queda de tensão ao longo do fio é de 8 V . O isolamento de plástico fica exposto ao ar com T 00=30^circ C e o coeficiente de transferência de calor h=12 W / m 2^circ C. Determine a temperatura na superfície de contato entre o fio e o isolamento em operação de regime permanente, e determine o raio crítico.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem um fio com diâmetro de 3 mm e comprimento de 5 metros, isolado por um plástico de 2 mm de espessura que tem uma condutividade térmica de $ k = 0,15 , \mathrm{W/m°C} $. Passa por ele uma corrente de 10 A e a queda de tensão no fio é de 8 V. O isolamento está exposto ao ar a 30°C e o coeficiente de transferência de calor por convecção é $ h = 12 , \mathrm{W/m²°C} $. A gente precisa encontrar a temperatura na superfície de contato entre o fio e o isolamento em regime permanente e o raio crítico.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de condução de calor (para a temperatura na superfície) e de equilíbrio térmico para encontrar o raio crítico. Vamos dividir a solução em passos bem detalhados para facilitar o entendimento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o fluxo de calor no sistema. Como temos uma corrente elétrica passando pelo fio, parte da energia elétrica será convertida em calor devido à resistência elétrica do fio. Esse calor precisa ser dissipado para o ambiente para que o sistema não aqueça indefinidamente.
Vamos calcular a potência dissipada no fio usando a fórmula:
P = V times I
onde $ V $ é a queda de tensão (8 V) e $ I $ é a corrente elétrica (10 A).

Passo 3

Calculando a potência dissipada:
P = 8 , V times 10 , A = 80 , W
Então, o fio está dissipando 80 W de potência em forma de calor.

Passo 4

Agora, vamos considerar como esse calor é transferido do fio para o ambiente. O isolamento de plástico envolve o fio e tem uma espessura de 2 mm, e o calor se propaga por condução através desse isolamento e por convecção para o ar.
Primeiro, vamos calcular a temperatura na superfície do isolamento (a interface entre o fio e o plástico).
Para isso, usamos a equação de condução de calor para uma parede cilíndrica em regime permanente:
Q = 2 pi L k (Tsuperfície - T0)ln(risolamentorfio) í
Onde:
  • $ Q $ é a potência dissipada (80 W)
  • $ L $ é o comprimento do fio (5 m)
  • $ k $ é a condutividade térmica do isolamento (0,15 W/m°C)
  • $ T_{superfície} $ é a temperatura na superfície do isolamento
  • $ T_0 $ é a temperatura ambiente (30°C)
  • $ r_{isolamento} $ é o raio total com isolamento
  • $ r_{fio} $ é o raio do fio

Passo 5

Vamos determinar os raios:
Primeiro, o diâmetro do fio é 3 mm, então o raio do fio é:
rfio = 3 , mm2 = 1,5 , mm = 0,0015 , m
O isolamento tem uma espessura de 2 mm, então o raio total com isolamento é:
risolamento = rfio + 2 , mm = 1,5 , mm + 2 , mm = 3,5 , mm = 0,0035 , m

Passo 6

Substituindo os valores na equação de condução de calor:
80 = 2 pi times 5 times 0,15 times (Tsuperfície - 30)ln(0,00350,0015) í
Vamos resolver para $ T_{superfície} $.
Primeiro, calculamos o denominador:
Tsuperfície

Passo 7

Agora, reorganizando a equação para encontrar $ T_{superfície} $:
Tsuperfície í
Calculando o numerador e o denominador separadamente:
Numerador:
Tsuperfície - 30 = 80 times 0,8472 pi times 5 times 0,15
Denominador:
80 times 0,847 = 67,76
Então:
2 pi times 5 times 0,15 approx 4,712 times 0,15 approx 4,712 , aproximadamente í

Passo 8

Finalmente, somando 30°C para encontrar $ T_{superfície} $:
Tsuperfície í
Então, a temperatura na superfície de contato entre o fio e o isolamento é aproximadamente 44,38°C.

Passo 9

Agora, vamos determinar o raio crítico. O raio crítico ocorre quando a condição de equilíbrio térmico entre condução e convecção é atendida. A condição para o raio crítico ($ r_c $) em uma superfície cilíndrica é dada por:
rc
Onde:
  • $ k $ é a condutividade térmica do isolamento (0,15 W/m°C)
  • $ h $ é o coeficiente de transferência de calor por convecção (12 W/m²°C)

Passo 10

Substituindo os valores na fórmula:
rc = 2 times 0,1512 = 0,312 = 0,025 , m = 25 , mm
Então, o raio crítico é de 25 mm.

Resposta

A temperatura na superfície de contato entre o fio e o isolamento em regime permanente é aproximadamente 44,38°C e o raio crítico é de 25 mm.

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