Um fio com 3 mm de diâmetro e 5 m de comprimento com isolante plástico, espessura de 2 mm e condutividade térmica,
. medições elétricas indicam que passa uma corrente de
pelo fio e a queda de tensão ao longo do fio é de 8 V . O isolamento de plástico fica exposto ao ar com
e o coeficiente de transferência de calor
. Determine a temperatura na superfície de contato entre o fio e o isolamento em operação de regime permanente, e determine o raio crítico.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem um fio com diâmetro de 3 mm e comprimento de 5 metros, isolado por um plástico de 2 mm de espessura que tem uma condutividade térmica de $ k = 0,15 , \mathrm{W/m°C} $. Passa por ele uma corrente de 10 A e a queda de tensão no fio é de 8 V. O isolamento está exposto ao ar a 30°C e o coeficiente de transferência de calor por convecção é $ h = 12 , \mathrm{W/m²°C} $. A gente precisa encontrar a temperatura na superfície de contato entre o fio e o isolamento em regime permanente e o raio crítico.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de condução de calor (para a temperatura na superfície) e de equilíbrio térmico para encontrar o raio crítico. Vamos dividir a solução em passos bem detalhados para facilitar o entendimento.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o fluxo de calor no sistema. Como temos uma corrente elétrica passando pelo fio, parte da energia elétrica será convertida em calor devido à resistência elétrica do fio. Esse calor precisa ser dissipado para o ambiente para que o sistema não aqueça indefinidamente.
Vamos calcular a potência dissipada no fio usando a fórmula:
onde $ V $ é a queda de tensão (8 V) e $ I $ é a corrente elétrica (10 A).
Passo 3
Calculando a potência dissipada:
Então, o fio está dissipando 80 W de potência em forma de calor.
Passo 4
Agora, vamos considerar como esse calor é transferido do fio para o ambiente. O isolamento de plástico envolve o fio e tem uma espessura de 2 mm, e o calor se propaga por condução através desse isolamento e por convecção para o ar.
Primeiro, vamos calcular a temperatura na superfície do isolamento (a interface entre o fio e o plástico).
Para isso, usamos a equação de condução de calor para uma parede cilíndrica em regime permanente:
Onde:
- $ Q $ é a potência dissipada (80 W)
- $ L $ é o comprimento do fio (5 m)
- $ k $ é a condutividade térmica do isolamento (0,15 W/m°C)
- $ T_{superfície} $ é a temperatura na superfície do isolamento
- $ T_0 $ é a temperatura ambiente (30°C)
- $ r_{isolamento} $ é o raio total com isolamento
- $ r_{fio} $ é o raio do fio
Passo 5
Vamos determinar os raios:
Primeiro, o diâmetro do fio é 3 mm, então o raio do fio é:
O isolamento tem uma espessura de 2 mm, então o raio total com isolamento é:
Passo 6
Substituindo os valores na equação de condução de calor:
Vamos resolver para $ T_{superfície} $.
Primeiro, calculamos o denominador:
Passo 7
Agora, reorganizando a equação para encontrar $ T_{superfície} $:
Calculando o numerador e o denominador separadamente:
Numerador:
Denominador:
Então:
Passo 8
Finalmente, somando 30°C para encontrar $ T_{superfície} $:
Então, a temperatura na superfície de contato entre o fio e o isolamento é aproximadamente 44,38°C.
Passo 9
Agora, vamos determinar o raio crítico. O raio crítico ocorre quando a condição de equilíbrio térmico entre condução e convecção é atendida. A condição para o raio crítico ($ r_c $) em uma superfície cilíndrica é dada por:
Onde:
- $ k $ é a condutividade térmica do isolamento (0,15 W/m°C)
- $ h $ é o coeficiente de transferência de calor por convecção (12 W/m²°C)
Passo 10
Substituindo os valores na fórmula:
Então, o raio crítico é de 25 mm.
Resposta
A temperatura na superfície de contato entre o fio e o isolamento em regime permanente é aproximadamente 44,38°C e o raio crítico é de 25 mm.