Um tubo por onde passa vapor de água possui as seguintes dimensões: comprimento L=20 m, raio interno r 1=6 cm, raio externo r 2=8 cm, condutividade térmica k=20 W / m^circ C. A temperatura média da superfície interna e externa, T 1=150^circ C e T2 =60^circ C, são mantidas constantes. Obtenha a distribuição de temperatura da parede do tubo e determine a perda de calor do vapor por meio da parede do tubo. Hipóteses: (Regime estacionário, condução de calor unidimensional, propriedades físicas constantes, sem geração de calor).

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um tubo por onde passa vapor de água e queremos descobrir duas coisas: como a temperatura varia ao longo da parede desse tubo e quanto de calor está sendo perdido pelo vapor através dessa parede. Para resolver isso, vamos usar conceitos de condução de calor em regime estacionário, que é quando a temperatura não muda com o tempo, além de trabalhar com propriedades térmicas constantes e sem geração de calor interno.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a distribuição de temperatura na parede do tubo. Como estamos lidando com condução de calor em uma parede cilíndrica e em regime estacionário, a equação que descreve essa situação é baseada na Lei de Fourier para condução de calor. No caso cilíndrico, a equação diferencial que buscamos resolver é:
1r ddr ( r dTdr ) = 0
Aqui, $ T $ é a temperatura em função do raio $ r $.

Passo 3

Vamos integrar essa equação para encontrar a distribuição de temperatura. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por $ r $:
r
Integrando em relação a $ r $:
ddr ( r dTdr ) = 0
Onde $ C_1 $ é uma constante de integração.

Passo 4

Agora, resolvemos para $ \frac{dT}{dr} $:
dTdr
Integrando novamente em relação a $ r $:
dTdr = C1r
Onde $ C_2 $ é outra constante de integração.

Passo 5

Precisamos determinar as constantes $ C_1 $ e $ C_2 $ usando as condições de contorno fornecidas: a temperatura na superfície interna $ T_1 = 150^{\circ} \mathrm{C} $ no raio $ r_1 = 0,06 , \mathrm{m} $ e na superfície externa $ T_2 = 60^{\circ} \mathrm{C} $ no raio $ r_2 = 0,08 , \mathrm{m} $.
Substituindo $ r = r_1 $ e $ T = T_1 $:
C1
E substituindo $ r = r_2 $ e $ T = T_2 $:
C2

Passo 6

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas ($ C_1 $ e $ C_2 $). Vamos resolver esse sistema subtraindo a equação (2) da equação (1):
C1
C2
150 - 60 = C1 [ln(0,06) - ln(0,08)]
Calculando:
90 = C1 ln(0,060,08)
C1 = 90ln(0,75)

Passo 7

Agora, substituímos o valor de $ C_1 $ em uma das equações para encontrar $ C_2 $. Vamos usar a equação (2):
C1
Calculando $ \ln(0,08) $:
C2
60 = (-312,95) ln(0,08) + C2
ln(0,08)
ln(0,08) approx -2,52573

Passo 8

Agora que temos $ C_1 $ e $ C_2 $, podemos escrever a expressão completa para a distribuição de temperatura na parede do tubo:
C1

Passo 9

Para simplificar, podemos reescrever a equação de temperatura de forma mais clara:
T(r) = -312,95 ln(r) - 730,5 , °C
Isso nos dá a temperatura em qualquer ponto da parede do tubo em função do raio $ r $.

Passo 10

Agora, vamos determinar a perda de calor através da parede do tubo. Para isso, usamos a Lei de Fourier em coordenadas cilíndricas para condução de calor em regime estacionário:
Q = 2 pi k L (T1 - T2)ln(r2 / r1)
Onde:
  • $ k = 20 , \mathrm{W/m,°C} $ é a condutividade térmica,
  • $ L = 20 , \mathrm{m} $ é o comprimento do tubo,
  • $ T_1 = 150 , \mathrm{°C} $ e $ T_2 = 60 , \mathrm{°C} $ são as temperaturas internas e externas,
  • $ r_1 = 0,06 , \mathrm{m} $ e $ r_2 = 0,08 , \mathrm{m} $ são os raios interno e externo.

Passo 11

Vamos substituir os valores na fórmula:
Q = 2 pi times 20 times 20 times (150 - 60)ln(0,08 / 0,06)
Calculando passo a passo:
  1. Calculamos a diferença de temperatura:
150 - 60 = 90 , °C
  1. Calculamos o quociente dos raios:
0,080,06 = 43 approx 1,3333
  1. Calculamos o logaritmo natural desse quociente:
ln(1,3333) approx 0,287682
  1. Agora, substituímos todos esses valores:
Q = 2 times 3,1416 times 20 times 20 times 900,287682 approx 22619,50,287682 approx 78.600 , W

Resposta

A distribuição de temperatura na parede do tubo é dada por:
T(r) = -312,95 ln(r) - 730,5 , °C
E a perda de calor do vapor por meio da parede do tubo é aproximadamente $ 78.600 , \mathrm{W} $.

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