Um tubo por onde passa vapor de água possui as seguintes dimensões: comprimento
, raio interno
, raio externo
, condutividade térmica
. A temperatura média da superfície interna e externa,
e T2
, são mantidas constantes. Obtenha a distribuição de temperatura da parede do tubo e determine a perda de calor do vapor por meio da parede do tubo. Hipóteses: (Regime estacionário, condução de calor unidimensional, propriedades físicas constantes, sem geração de calor).
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um tubo por onde passa vapor de água e queremos descobrir duas coisas: como a temperatura varia ao longo da parede desse tubo e quanto de calor está sendo perdido pelo vapor através dessa parede. Para resolver isso, vamos usar conceitos de condução de calor em regime estacionário, que é quando a temperatura não muda com o tempo, além de trabalhar com propriedades térmicas constantes e sem geração de calor interno.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a distribuição de temperatura na parede do tubo. Como estamos lidando com condução de calor em uma parede cilíndrica e em regime estacionário, a equação que descreve essa situação é baseada na Lei de Fourier para condução de calor. No caso cilíndrico, a equação diferencial que buscamos resolver é:
Aqui, $ T $ é a temperatura em função do raio $ r $.
Passo 3
Vamos integrar essa equação para encontrar a distribuição de temperatura. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por $ r $:
Integrando em relação a $ r $:
Onde $ C_1 $ é uma constante de integração.
Passo 4
Agora, resolvemos para $ \frac{dT}{dr} $:
Integrando novamente em relação a $ r $:
Onde $ C_2 $ é outra constante de integração.
Passo 5
Precisamos determinar as constantes $ C_1 $ e $ C_2 $ usando as condições de contorno fornecidas: a temperatura na superfície interna $ T_1 = 150^{\circ} \mathrm{C} $ no raio $ r_1 = 0,06 , \mathrm{m} $ e na superfície externa $ T_2 = 60^{\circ} \mathrm{C} $ no raio $ r_2 = 0,08 , \mathrm{m} $.
Substituindo $ r = r_1 $ e $ T = T_1 $:
E substituindo $ r = r_2 $ e $ T = T_2 $:
Passo 6
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas ($ C_1 $ e $ C_2 $). Vamos resolver esse sistema subtraindo a equação (2) da equação (1):
Calculando:
Passo 7
Agora, substituímos o valor de $ C_1 $ em uma das equações para encontrar $ C_2 $. Vamos usar a equação (2):
Calculando $ \ln(0,08) $:
Passo 8
Agora que temos $ C_1 $ e $ C_2 $, podemos escrever a expressão completa para a distribuição de temperatura na parede do tubo:
Passo 9
Para simplificar, podemos reescrever a equação de temperatura de forma mais clara:
Isso nos dá a temperatura em qualquer ponto da parede do tubo em função do raio $ r $.
Passo 10
Agora, vamos determinar a perda de calor através da parede do tubo. Para isso, usamos a Lei de Fourier em coordenadas cilíndricas para condução de calor em regime estacionário:
Onde:
- $ k = 20 , \mathrm{W/m,°C} $ é a condutividade térmica,
- $ L = 20 , \mathrm{m} $ é o comprimento do tubo,
- $ T_1 = 150 , \mathrm{°C} $ e $ T_2 = 60 , \mathrm{°C} $ são as temperaturas internas e externas,
- $ r_1 = 0,06 , \mathrm{m} $ e $ r_2 = 0,08 , \mathrm{m} $ são os raios interno e externo.
Passo 11
Vamos substituir os valores na fórmula:
Calculando passo a passo:
- Calculamos a diferença de temperatura:
- Calculamos o quociente dos raios:
- Calculamos o logaritmo natural desse quociente:
- Agora, substituímos todos esses valores:
Resposta
A distribuição de temperatura na parede do tubo é dada por:
E a perda de calor do vapor por meio da parede do tubo é aproximadamente $ 78.600 , \mathrm{W} $.