Um tubo de aço ( K=22 Btu / h ft^circ F ) e 1 / 2^prime prime de espessura e 10^prime prime de diâmetro externo é utilizado para conduzir ar aquecido. O tubo é isolado com 2 camadas de materiais isolantes: a primeira de isolante de alta temperatura ( K=0,051 Btu / h ft^circ F ) com espessura de 1^ e e a segunda com isolante à à base de magnésia ( K=0,032 B t u / h t^circ F ) também com espessura de 1^prime prime. Sabendo que estando a temperatura da superfície interna do tubo a 1000^circ F e a temperatura da superfície externa do segundo isolante fica em 32^circ F, calcule:
A temperatura da interface entre os dois isolantes

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre condução de calor em um tubo de aço com duas camadas de isolamento. A gente precisa encontrar a temperatura na interface entre essas duas camadas de isolante. Para resolver isso, vamos usar conceitos de condução de calor e resistências térmicas. Vamos precisar das propriedades térmicas dos materiais envolvidos e das espessuras das camadas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes do sistema:
  1. Tubo de aço:
    • Condutividade térmica ( Kaçoç) = 22 BTU/h·ft·°F
    • Espessura ( Laçoç) = 1/2 polegada
    • Diâmetro externo ( Dexterno) = 10 polegadas
  2. Primeira camada de isolante (alta temperatura):
    • Condutividade térmica ( K1) = 0,051 BTU/h·ft·°F
    • Espessura ( L1) = 1 polegada
  3. Segunda camada de isolante (base de magnésia):
    • Condutividade térmica ( K2) = 0,032 BTU/h·ft·°F
    • Espessura ( L2) = 1 polegada
As temperaturas dadas são:
  • Superfície interna do tubo: Tinterna = 1000,°F
  • Superfície externa do segundo isolante: Texterna = 32,°F
Queremos encontrar a temperatura na interface entre os dois isolantes, ou seja, na junção das camadas L1 e L2.

Passo 3

Vamos considerar que o fluxo de calor ( Q) é constante através de todas as camadas. Podemos modelar cada camada como uma resistência térmica ( R). A resistência térmica para condução em torno de um cilindro é dada por:
R = ln(r2r1)2pi L K
onde:
  • r1, r2 são os raios interno e externo da camada,
  • L é o comprimento do cilindro (que vamos considerar unitário para simplificação),
  • K é a condutividade térmica do material.
No entanto, como o comprimento do tubo não foi especificado, podemos simplificar usando a forma de resistência térmica para condução plana, que é:
R = LK A
Mas, nesse caso, como estamos lidando com camadas concêntricas, precisamos ajustar para o fluxo radial. Por simplicidade, vamos assumir que a área através da qual o calor está passando permanece constante.

Passo 4

Vamos calcular a resistência térmica de cada camada:
  1. Tubo de aço:
    • Espessura: Laço = 12, po<=gada = 124, ftç
    • Área: Vamos considerar a área superficial do tubo. O diâmetro externo é de 10 polegadas, então o raio externo é rexterno = 102 = 5, po<=gadas = 512, ft.
    • O raio interno será rinterno = rexterno - Laço = 512 - 124 = 1024 - 124 = 924 = 38, ftç.
    • Resistência térmica: Raço = ln(rexternorinterno)2pi Kaço = ln(5/123/8)2pi cdot 22 ççCalculando: 5/123/8 = 512 times 83 = 4036 = 109 ln(109) approx 0,1054 Raço = 0,10542pi cdot 22 approx 0,1054138,23 approx 0,000763, (BTU/h·°F) ç
  2. Primeira camada de isolante:
    • Espessura: L1 = 1, po<=gada = 112, ft
    • Condutividade: K1 = 0,051, BTU/h·ft·°F
    • Resistência térmica: R1 = L1K1 A
  3. Segunda camada de isolante:
    • Espessura: L2 = 1, po<=gada = 112, ft
    • Condutividade: K2 = 0,032, BTU/h·ft·°F
    • Resistência térmica: R2 = L2K2 A
Aqui, A é a área através da qual o calor está passando. Como estamos tratando de um cilindro, a área varia com o raio, mas para simplificação, vamos assumir que as resistências térmicas das camadas isolantes são adicionadas em série.

Passo 5

Vamos considerar que o fluxo de calor é o mesmo através de todas as camadas, então podemos somar as resistências térmicas:
Deç
Sabemos que a diferença total de temperatura é:
De
Então:
968 = Q (Raço + R1 + R2) ç
Nosso objetivo é encontrar a temperatura na interface entre os dois isolantes. Vamos chamar essa temperatura de Tinterface.

Passo 6

Vamos dividir o problema em duas partes:
  1. Do interior do tubo até a interface:
    Tinterna - Tinterface = Q (Raço + R1) ç
  2. Da interface até o exterior:
    Tinterface - Texterna = Q R2
Somando as duas equações, temos:
(Tinterna - Tinterface) + (Tinterface - Texterna) = Q (Raço + R1 + R2) ç
O que confirma nossa primeira equação. Agora, precisamos encontrar Tinterface.

Passo 7

Vamos expressar Tinterface em termos das equações acima.
Da segunda equação:
Tinterface = Texterna + Q R2
Substituindo na primeira equação:
Tinterna - (Texterna + Q R2) = Q (Raço + R1) ç
Simplificando:
Tinterna - Texterna = Q (Raço + R1 + R2) ç
Já sabemos que Tinterna - Texterna = 968,°F, então:
968 = Q (Raço + R1 + R2) ç
Daqui, podemos encontrar Q:
Q = 968Raço + R1 + R2 ç

Passo 8

Agora, precisamos calcular R1 e R2 para encontrar Q.
Como estamos lidando com camadas concêntricas, a resistência térmica para condução radial é:
R = ln(r2r1)2pi L K
Vamos calcular R1 e R2:
  1. Primeira camada de isolante:
    • Raio interno: r1 = rexterno do aço = 512, ftç
    • Espessura: L1 = 112, ft
    • Raio externo: r2 = r1 + L1 = 512 + 112 = 612 = 0,5, ft
    • Condutividade: K1 = 0,051
    • Resistência térmica: R1 = ln(0,55/12)2pi cdot 112 cdot 0,051 = ln(65)2pi cdot 112 cdot 0,051 ln(65) approx 0,1823 R1 = 0,18232pi cdot 112 cdot 0,051 = 0,18230,0269 approx 6,777, BTU/h·°F
  2. Segunda camada de isolante:
    • Raio interno: r1 = 0,5, ft
    • Espessura: L2 = 112, ft
    • Raio externo: r2 = r1 + L2 = 0,5 + 112 approx 0,5833, ft
    • Condutividade: K2 = 0,032
    • Resistência térmica: R2 = ln(0,58330,5)2pi cdot 112 cdot 0,032 = ln(1,1666)2pi cdot 112 cdot 0,032 ln(1,1666) approx 0,1542 R2 = 0,15422pi cdot 112 cdot 0,032 = 0,15420,0168 approx 9,179, BTU/h·°F

Passo 9

Agora, somamos todas as resistências térmicas:
Rtotal = Raço + R1 + R2 = 0,000763 + 6,777 + 9,179 approx 15,956, BTU/h·°F ç
Agora, calculamos o fluxo de calor Q:
Q = 96815,956 approx 60,65, BTU/h

Passo 10

Agora que temos o fluxo de calor Q, podemos encontrar a temperatura na interface usando a segunda equação:
Tinterface = Texterna + Q R2 = 32 + 60,65 times 9,179
Calculando:
60,65 times 9,179 approx 555,2,°F
Então:
Tinterface = 32 + 555,2 = 587,2,°F

Resposta

A temperatura na interface entre os dois isolantes é aproximadamente 587,2 °F.

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