Um tubo de aço (
) e
de espessura e
de diâmetro externo é utilizado para conduzir ar aquecido. O tubo é isolado com 2 camadas de materiais isolantes: a primeira de isolante de alta temperatura (
) com espessura de
base de magnésia (
) também com espessura de
. Sabendo que estando a temperatura da superfície interna do tubo a
e a temperatura da superfície externa do segundo isolante fica em
, calcule:
A temperatura da interface entre os dois isolantes
A temperatura da interface entre os dois isolantes
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre condução de calor em um tubo de aço com duas camadas de isolamento. A gente precisa encontrar a temperatura na interface entre essas duas camadas de isolante. Para resolver isso, vamos usar conceitos de condução de calor e resistências térmicas. Vamos precisar das propriedades térmicas dos materiais envolvidos e das espessuras das camadas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os componentes do sistema:
-
Tubo de aço:
- Condutividade térmica (
) = 22 BTU/h·ft·°F - Espessura (
) = 1/2 polegada - Diâmetro externo (
) = 10 polegadas
- Condutividade térmica (
-
Primeira camada de isolante (alta temperatura):
- Condutividade térmica (
) = 0,051 BTU/h·ft·°F - Espessura (
) = 1 polegada
- Condutividade térmica (
-
Segunda camada de isolante (base de magnésia):
- Condutividade térmica (
) = 0,032 BTU/h·ft·°F - Espessura (
) = 1 polegada
- Condutividade térmica (
As temperaturas dadas são:
- Superfície interna do tubo:
- Superfície externa do segundo isolante:
Queremos encontrar a temperatura na interface entre os dois isolantes, ou seja, na junção das camadas
e
.
Passo 3
Vamos considerar que o fluxo de calor (
) é constante através de todas as camadas. Podemos modelar cada camada como uma resistência térmica (
). A resistência térmica para condução em torno de um cilindro é dada por:
onde:
-
, são os raios interno e externo da camada, -
é o comprimento do cilindro (que vamos considerar unitário para simplificação), -
é a condutividade térmica do material.
No entanto, como o comprimento do tubo não foi especificado, podemos simplificar usando a forma de resistência térmica para condução plana, que é:
Mas, nesse caso, como estamos lidando com camadas concêntricas, precisamos ajustar para o fluxo radial. Por simplicidade, vamos assumir que a área através da qual o calor está passando permanece constante.
Passo 4
Vamos calcular a resistência térmica de cada camada:
-
Tubo de aço:
- Espessura:
- Área: Vamos considerar a área superficial do tubo. O diâmetro externo é de 10 polegadas, então o raio externo é
. - O raio interno será
. - Resistência térmica:
Calculando:
- Espessura:
-
Primeira camada de isolante:
- Espessura:
- Condutividade:
- Resistência térmica:
- Espessura:
-
Segunda camada de isolante:
- Espessura:
- Condutividade:
- Resistência térmica:
- Espessura:
Aqui,
é a área através da qual o calor está passando. Como estamos tratando de um cilindro, a área varia com o raio, mas para simplificação, vamos assumir que as resistências térmicas das camadas isolantes são adicionadas em série.
Passo 5
Vamos considerar que o fluxo de calor é o mesmo através de todas as camadas, então podemos somar as resistências térmicas:
Sabemos que a diferença total de temperatura é:
Então:
Nosso objetivo é encontrar a temperatura na interface entre os dois isolantes. Vamos chamar essa temperatura de
.
Passo 6
Vamos dividir o problema em duas partes:
-
Do interior do tubo até a interface:
-
Da interface até o exterior:
Somando as duas equações, temos:
O que confirma nossa primeira equação. Agora, precisamos encontrar
.
Passo 7
Vamos expressar
em termos das equações acima.
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Simplificando:
Já sabemos que
, então:
Daqui, podemos encontrar
:
Passo 8
Agora, precisamos calcular
e
para encontrar
.
Como estamos lidando com camadas concêntricas, a resistência térmica para condução radial é:
Vamos calcular
e
:
-
Primeira camada de isolante:
- Raio interno:
- Espessura:
- Raio externo:
- Condutividade:
- Resistência térmica:
- Raio interno:
-
Segunda camada de isolante:
- Raio interno:
- Espessura:
- Raio externo:
- Condutividade:
- Resistência térmica:
- Raio interno:
Passo 9
Agora, somamos todas as resistências térmicas:
Agora, calculamos o fluxo de calor
:
Passo 10
Agora que temos o fluxo de calor
, podemos encontrar a temperatura na interface usando a segunda equação:
Calculando:
Então:
Resposta
A temperatura na interface entre os dois isolantes é aproximadamente 587,2 °F.