Um tubo de aço ( K=22 Btu / h ft^circ F ) e 1 / 2^prime prime de espessura e 10^prime prime de diâmetro externo é utilizado para conduzir ar aquecido. O tubo é isolado com 2 camadas de materiais isolantes: a primeira de isolante de alta temperatura ( K=0,051 Btu / h ft^circ F ) com espessura de 1^ e e a segunda com isolante à à base de magnésia ( K=0,032 B t u / h t^circ F ) também com espessura de 1^prime prime. Sabendo que estando a temperatura da superfície interna do tubo a 1000^circ F e a temperatura da superfície externa do segundo isolante fica em 32^circ F, calcule:
Fluxo de calor por unidade de comprimento do tubo

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre como o calor se move através de um tubo de aço que está com duas camadas de isolamento. A gente vai precisar usar conceitos de condução de calor, especificamente sobre resistência térmica em séries. Vamos olhar os materiais, suas espessuras, condutividades térmicas e as temperaturas nas superfícies interna e externa para calcular o fluxo de calor por unidade de comprimento do tubo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os dados que temos:
  • Tubo de aço:
    • Condutividade térmica, $ K_{aço} = 22 , Btu/(h \cdot ft \cdot °F) $
    • Espessura, $ t_{aço} = \frac{1}{2}’’ $
    • Diâmetro externo, $ D_{externo} = 10’’ $
  • Primeira camada de isolamento (alta temperatura):
    • Condutividade térmica, $ K_1 = 0,051 , Btu/(h \cdot ft \cdot °F) $
    • Espessura, $ t_1 = 1’’ $
  • Segunda camada de isolamento (à base de magnésia):
    • Condutividade térmica, $ K_2 = 0,032 , Btu/(h \cdot ft \cdot °F) $
    • Espessura, $ t_2 = 1’’ $
  • Temperaturas:
    • Superfície interna do tubo, $ T_1 = 1000°F $
    • Superfície externa do segundo isolante, $ T_2 = 32°F $
Nosso objetivo é encontrar o fluxo de calor por unidade de comprimento do tubo.

Passo 3

Primeiro, vamos converter todas as espessuras para pés, já que as condutividades térmicas estão dadas em pés. Sabemos que:
1'' = 112 , ft
Então:
taço = 12'' = 12 times 112 = 124 , ft ç
t1 = 1'' = 112 , ft
t2 = 1'' = 112 , ft

Passo 4

Agora, precisamos considerar que o fluxo de calor passa através do tubo de aço e das duas camadas de isolamento em série. A resistência térmica total será a soma das resistências individuais de cada camada.
A fórmula para a resistência térmica de condução em uma parede cilíndrica é:
R = ln(rexternorinterno)2 pi K L
Onde:
  • $ R $ é a resistência térmica
  • $ r_{externo} $ e $ r_{interno} $ são os raios externos e internos
  • $ K $ é a condutividade térmica
  • $ L $ é o comprimento (no nosso caso, por unidade de comprimento, então $ L = 1 $ ft)
Para facilitar, como estamos calculando por unidade de comprimento, podemos simplificar a fórmula para:
R

Passo 5

Primeiro, vamos calcular os raios para cada camada:
  • Tubo de aço:
    • Diâmetro externo, $ D_{aço, externo} = 10’’ $ → raio externo, $ r_{aço, externo} = \frac{10}{2}’’ = 5’’ = \frac{5}{12} , ft $
    • Espessura, $ t_{aço} = \frac{1}{24} , ft $ → raio interno, $ r_{aço, interno} = r_{aço, externo} - t_{aço} = \frac{5}{12} - \frac{1}{24} = \frac{10}{24} - \frac{1}{24} = \frac{9}{24} = \frac{3}{8} , ft $
  • Primeira camada de isolamento:
    • Espessura, $ t_1 = \frac{1}{12} , ft $ → raio externo, $ r_{1, externo} = r_{aço, externo} + t_{aço} + t_1 = \frac{5}{12} + \frac{1}{24} + \frac{1}{12} = \frac{10}{24} + \frac{1}{24} + \frac{2}{24} = \frac{13}{24} , ft $
  • Segunda camada de isolamento:
    • Espessura, $ t_2 = \frac{1}{12} , ft $ → raio externo, $ r_{2, externo} = r_{1, externo} + t_1 + t_2 = \frac{13}{24} + \frac{1}{12} = \frac{13}{24} + \frac{2}{24} = \frac{15}{24} = \frac{5}{8} , ft $

Passo 6

Agora, vamos calcular as resistências térmicas de cada camada:
Raço = ln(raço, externoraço, interno)2 pi Kaço çççç
R1 = ln(r1, externoraço, externo)2 pi K1 ç
R2 = ln(r2, externor1, externo)2 pi K2
Vamos calcular cada uma:
  1. Resistência do aço:
Raço = ln(51238)2 pi times 22 ç
512 div 38 = 512 times 83 = 4036 = 109
ln(109) approx 0,10536
Raço = 0,105362 pi times 22 approx 0,10536138,23 approx 0,000762 , h ft cdot °F/Btu ç
  1. Resistência da primeira camada de isolamento:
R1 = ln(1324512)2 pi times 0,051
1324 div 512 = 1324 times 125 = 156120 = 1310 = 1,3
ln(1,3) approx 0,262364
R1 = 0,2623642 pi times 0,051 approx 0,2623640,320442 approx 0,818 , h ft cdot °F/Btu
  1. Resistência da segunda camada de isolamento:
R2 = ln(581324)2 pi times 0,032
58 div 1324 = 58 times 2413 = 120104 = 3026 approx 1,15385
ln(1,15385) approx 0,143101
R2 = 0,1431012 pi times 0,032 approx 0,1431010,201062 approx 0,712 , h ft cdot °F/Btu

Passo 7

Agora, somamos todas as resistências térmicas para obter a resistência total:
Rtotal = Raço + R1 + R2 ç
Rtotal = 0,000762 + 0,818 + 0,712 approx 1,530 , h ft cdot °F/Btu

Passo 8

Com a resistência total, podemos calcular o fluxo de calor por unidade de comprimento usando a diferença de temperatura e a resistência:
q = T1 - T2Rtotal
q = 1000°F - 32°F1,530 approx 9681,530 approx 633 , Btu/(h cdot ft)

Resposta

O fluxo de calor por unidade de comprimento do tubo é aproximadamente $ 633 , Btu/(h \cdot ft) $.

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