Um tubo de aço (
) e
de espessura e
de diâmetro externo é utilizado para conduzir ar aquecido. O tubo é isolado com 2 camadas de materiais isolantes: a primeira de isolante de alta temperatura (
) com espessura de
base de magnésia (
) também com espessura de
. Sabendo que estando a temperatura da superfície interna do tubo a
e a temperatura da superfície externa do segundo isolante fica em
, calcule:
Fluxo de calor por unidade de comprimento do tubo
Fluxo de calor por unidade de comprimento do tubo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre como o calor se move através de um tubo de aço que está com duas camadas de isolamento. A gente vai precisar usar conceitos de condução de calor, especificamente sobre resistência térmica em séries. Vamos olhar os materiais, suas espessuras, condutividades térmicas e as temperaturas nas superfícies interna e externa para calcular o fluxo de calor por unidade de comprimento do tubo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os dados que temos:
-
Tubo de aço:
- Condutividade térmica, $ K_{aço} = 22 , Btu/(h \cdot ft \cdot °F) $
- Espessura, $ t_{aço} = \frac{1}{2}’’ $
- Diâmetro externo, $ D_{externo} = 10’’ $
-
Primeira camada de isolamento (alta temperatura):
- Condutividade térmica, $ K_1 = 0,051 , Btu/(h \cdot ft \cdot °F) $
- Espessura, $ t_1 = 1’’ $
-
Segunda camada de isolamento (à base de magnésia):
- Condutividade térmica, $ K_2 = 0,032 , Btu/(h \cdot ft \cdot °F) $
- Espessura, $ t_2 = 1’’ $
-
Temperaturas:
- Superfície interna do tubo, $ T_1 = 1000°F $
- Superfície externa do segundo isolante, $ T_2 = 32°F $
Nosso objetivo é encontrar o fluxo de calor por unidade de comprimento do tubo.
Passo 3
Primeiro, vamos converter todas as espessuras para pés, já que as condutividades térmicas estão dadas em pés. Sabemos que:
Então:
Passo 4
Agora, precisamos considerar que o fluxo de calor passa através do tubo de aço e das duas camadas de isolamento em série. A resistência térmica total será a soma das resistências individuais de cada camada.
A fórmula para a resistência térmica de condução em uma parede cilíndrica é:
Onde:
- $ R $ é a resistência térmica
- $ r_{externo} $ e $ r_{interno} $ são os raios externos e internos
- $ K $ é a condutividade térmica
- $ L $ é o comprimento (no nosso caso, por unidade de comprimento, então $ L = 1 $ ft)
Para facilitar, como estamos calculando por unidade de comprimento, podemos simplificar a fórmula para:
Passo 5
Primeiro, vamos calcular os raios para cada camada:
-
Tubo de aço:
- Diâmetro externo, $ D_{aço, externo} = 10’’ $ → raio externo, $ r_{aço, externo} = \frac{10}{2}’’ = 5’’ = \frac{5}{12} , ft $
- Espessura, $ t_{aço} = \frac{1}{24} , ft $ → raio interno, $ r_{aço, interno} = r_{aço, externo} - t_{aço} = \frac{5}{12} - \frac{1}{24} = \frac{10}{24} - \frac{1}{24} = \frac{9}{24} = \frac{3}{8} , ft $
-
Primeira camada de isolamento:
- Espessura, $ t_1 = \frac{1}{12} , ft $ → raio externo, $ r_{1, externo} = r_{aço, externo} + t_{aço} + t_1 = \frac{5}{12} + \frac{1}{24} + \frac{1}{12} = \frac{10}{24} + \frac{1}{24} + \frac{2}{24} = \frac{13}{24} , ft $
-
Segunda camada de isolamento:
- Espessura, $ t_2 = \frac{1}{12} , ft $ → raio externo, $ r_{2, externo} = r_{1, externo} + t_1 + t_2 = \frac{13}{24} + \frac{1}{12} = \frac{13}{24} + \frac{2}{24} = \frac{15}{24} = \frac{5}{8} , ft $
Passo 6
Agora, vamos calcular as resistências térmicas de cada camada:
Vamos calcular cada uma:
- Resistência do aço:
- Resistência da primeira camada de isolamento:
- Resistência da segunda camada de isolamento:
Passo 7
Agora, somamos todas as resistências térmicas para obter a resistência total:
Passo 8
Com a resistência total, podemos calcular o fluxo de calor por unidade de comprimento usando a diferença de temperatura e a resistência:
Resposta
O fluxo de calor por unidade de comprimento do tubo é aproximadamente $ 633 , Btu/(h \cdot ft) $.