Um depósito para armazenar gelo é constituído por uma esfera metálica ( K aço inox =15 W / mK ), com 3 m de diâmetro e espessura de 2 cm . A temperatura do gelo é 0^circ C e a temperatura do ar exterior é 22^circ C. Os coeficientes de transmissão de calor são hi =80 W / m 2 K no interior e he =15,3 W/m2K no exterior, calcular a taxa de transferência de calor.

Passo 1

Então, vamos resolver esse exercício sobre transferência de calor em um depósito de gelo esférico. A gente vai precisar usar conceitos de condução e convecção térmica. Primeiro, vamos entender as informações que temos:
  • Material da esfera: Aço inox, com condutividade térmica $ K = 15 , \mathrm{W/mK} $
  • Diâmetro da esfera: 3 metros, então o raio é 1,5 metros
  • Espessura da esfera: 2 cm (0,02 metros)
  • Temperaturas: Gelo a $ 0^{\circ} \mathrm{C} $ e ar externo a $ 22^{\circ} \mathrm{C} $
  • Coeficientes de transferência de calor:
    • Interior $ h_i = 80 , \mathrm{W/m^2K} $
    • Exterior $ h_e = 15,3 , \mathrm{W/m^2K} $
Vamos calcular a taxa de transferência de calor através dessa esfera, considerando as resistências térmicas por convecção interna, condução através do metal e convecção externa.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a área superficial da esfera, que é necessária para os cálculos de convecção. A fórmula da área de uma esfera é:
A = 4pi r^2
Onde $ r $ é o raio da esfera.
Substituindo $ r = 1,5 , \mathrm{m} $:
r

Passo 3

Agora, vamos calcular a resistência térmica da convecção interna. A resistência térmica por convecção é dada por:
Rconv,i = 1hi times A
Substituindo os valores:
Rconv,i = 180 times 28,274 approx 12261,92 approx 0,000442 , K/W

Passo 4

Em seguida, calculamos a resistência térmica da condução através do metal. A resistência térmica por condução em uma esfera é dada por:
Rcond = ln(r + de
Onde:
  • $ r $ é o raio interno (1,5 m)
  • $ \delta $ é a espessura (0,02 m)
  • $ K $ é a condutividade térmica
Substituindo os valores:
r

Passo 5

Agora, calculamos a resistência térmica da convecção externa:
Rconv,e = 1he times A
Substituindo os valores:
Rconv,e = 115,3 times 28,274 approx 1432,49 approx 0,00231 , K/W

Passo 6

Com todas as resistências térmicas calculadas, podemos encontrar a resistência térmica total somando elas:
Rtotal = Rconv,i + Rcond + Rconv,e = 0,000442 + 0,0000706 + 0,00231 approx 0,002823 , K/W

Passo 7

Finalmente, usamos a diferença de temperatura para encontrar a taxa de transferência de calor $ \dot{Q} $:
dotQ

Resposta

A taxa de transferência de calor é aproximadamente 7800 W.

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