Um tubo de aço ( K=37,7 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} ) com diâmetro interno de 2^{\prime \prime} e espessura \frac{1}{4}^{\prime \prime}, é usado para transportar vapor de água a 600^{\circ} \mathrm{C}, com um coeficiente de transferência convectiva de calor de 500 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K} na face interna. Este tubo está em um ambiente cuja temperatura do ar é 25^{\circ} \mathrm{C} e o coeficiente de transferência convectiva de calor, na face externa do tubo é de 20 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}. Desprezando a troca de calor por radiação, determine a perda total na geração de vapor durante o ano, antes e após a colocação de um isolante ( K=0,06 \mathrm{W} / \mathrm{mK} de 1^{\prime \prime} de espessura), considerando uma tubulação com 100 m de comprimento. Considere a linha de vapor operando 7500 \mathrm{~h} / ano e que o custo associado à geração de vapor é \ 5 / \mathrm{GJ} .(3,0)$

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados do enunciado:
  • Condutividade térmica do aço: k_{\text{aço}}=37{,}7\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}ç.
  • Diâmetro interno do tubo: D_i=2''.
  • Espessura da parede do tubo (aço): t_{\text{aço}}=\tfrac{1}{4}''ç.
  • Coeficiente de convecção interno: h_i=500\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
  • Temperatura do vapor: T_{\text{vapor}}=600^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura ambiente: T_{\infty}=25^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficiente de convecção externo: h_o=20\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
  • Comprimento da tubulação: L=100\\ \mathrm{m}.
  • Tempo de operação por ano: t_{\text{op}}=7500\\ \mathrm{h/ano}.
  • Custo da geração de vapor: \$5/\mathrm{GJ}.
Dados do isolante (após isolamento):
  • Condutividade térmica do isolamento: k_{\text{iso}}=0{,}06\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
  • Espessura do isolamento: t_{\text{iso}}=1''.
O que o problema pede:
  • Determinar a perda total (energia) na geração de vapor durante o ano, antes da colocação do isolante e após a colocação do isolante, para a tubulação de 100\\ \mathrm{m}, e o custo correspondente (usar \$5/\mathrm{GJ}).

Passo 2

Estratégia e fórmulas que vamos usar (explicadas de forma didática):
Quando temos um tubo com fluxo de calor do fluido interno para o ambiente, a resistência total ao fluxo de calor é a soma de resistências térmicas em série:
  • resistência por convecção na face interna,
  • resistência por condução radial através da parede do tubo (cilindro oco),
  • (quando há isolante) resistência por condução radial no isolante,
  • resistência por convecção na face externa.
A taxa de perda de calor (potência) é dada por:
\dot{Q}=\frac{\Delta T}{R_{\text{total}}},
onde \Delta T=T_{\text{vapor}}-T_{\infty} e R_{\text{total}} é a soma das resistências.
Resistências individuais:
  • Resistência convectiva em superfície cilíndrica (área de contato A=2\pi r L):
R_{\text{conv}}=\frac{1}{h\,A}=\frac{1}{h\,(2\pi r L)}.
Aqui h é o coeficiente de convecção e r o raio da superfície considerada.
  • Resistência por condução radial através de uma casca cilíndrica entre raios r_1 e r_2 (condutividade k):
R_{\text{cond}}=\frac{1}{2\pi k L}\ln\!\left(\frac{r_2}{r_1}\right).
Aqui L é o comprimento do tubo.
Depois de obter \dot{Q} (em W), a energia anual é:
E_{\text{ano}}=\dot{Q}\times t_{\text{op}}\quad(\text{com }t_{\text{op}}\text{ em horas}),
e para converter para \mathrm{GJ}: 1\\ \mathrm{kW\cdot h}=3{,}6\\ \mathrm{MJ}=0{,}0036\\ \mathrm{GJ}. Ou diretamente E_{\mathrm{GJ}}=\dfrac{\dot{Q}\\ (\mathrm{W})\times t_{\text{op}}\\ (\mathrm{h})\times 3600}{10^{9}}.
Custo anual:
\text{Custo} = E_{\mathrm{GJ}}\times 5\\ \left(\$/\mathrm{GJ}\right).

Passo 3

Conversão de unidades geométricas (tudo em metros) e cálculo dos raios:
1 polegada =0{,}0254\\ \mathrm{m}.
  • D_i=2''=2\times 0{,}0254=0{,}0508\\ \mathrm{m}. Logo raio interno:
r_i=\frac{D_i}{2}=0{,}0254\\ \mathrm{m}.
  • Espessura do aço: t_{\text{aço}}=\tfrac{1}{4}''=0{,}25\times 0{,}0254=0{,}00635\\ \mathrm{m}ç.
  • Raio externo do tubo (aço):
r_o=r_i+t_{\text{aço}}=0{,}0254+0{,}00635=0{,}03175\\ \mathrm{m}.ç
  • Espessura do isolante: t_{\text{iso}}=1''=0{,}0254\\ \mathrm{m}.
  • Raio externo com isolante:
r_{\text{ext}}=r_o+t_{\text{iso}}=0{,}03175+0{,}0254=0{,}05715\\ \mathrm{m}.
Diferença de temperatura:
\Delta T = T_{\text{vapor}}-T_{\infty}=600-25=575\\ \mathrm{K}.
Comprimento:
L=100\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Cálculo detalhado das resistências e da perda de calor ANTES do isolamento (ou seja, somente aço e convecções internas/externas).
Áreas de superfície:
A_i=2\pi r_i L=2\pi(0{,}0254)(100)\approx 15{,}948\\ \mathrm{m^2},
A_o=2\pi r_o L=2\pi(0{,}03175)(100)\approx 19{,}938\\ \mathrm{m^2}.
Resistências:
  • Convecção interna:
R_{\text{conv},i}=\frac{1}{h_i A_i}=\frac{1}{500\cdot 15{,}948}\approx 1{,}253\times 10^{-4}\\ \mathrm{K/W}.
  • Condução no aço (entre r_i e r_o):
R_{\text{cond,aço}}=\frac{1}{2\pi k_{\text{aço}} L}\ln\!\left(\frac{r_o}{r_i}\right) =\frac{1}{2\pi\cdot 37{,}7\cdot 100}\ln\!\left(\frac{0{,}03175}{0{,}0254}\right).çç
A razão \dfrac{r_o}{r_i}=1{,}25 e \ln(1{,}25)=0{,}22314355. Assim
R_{\text{cond,aço}}\approx \frac{0{,}22314355}{2\pi\cdot 37{,}7\cdot 100}\approx 9{,}42\times 10^{-6}\\ \mathrm{K/W}.ç
(Esse valor é muito pequeno; a condução no aço é quase desprezível diante das convecções e do isolante.)
  • Convecção externa:
R_{\text{conv},o}=\frac{1}{h_o A_o}=\frac{1}{20\cdot 19{,}938}\approx 2{,}507\times 10^{-3}\\ \mathrm{K/W}.
Resistência total sem isolamento:
R_{\text{tot,antes}}=R_{\text{conv},i}+R_{\text{cond,aço}}+R_{\text{conv},o}\approx 1{,}253\times 10^{-4}+9{,}42\times 10^{-6}+2{,}507\times 10^{-3}.ç
R_{\text{tot,antes}}\approx 2{,}6418\times 10^{-3}\\ \mathrm{K/W}.
Taxa de perda de calor (potência) antes do isolamento:
\dot{Q}_{\text{antes}}=\frac{\Delta T}{R_{\text{tot,antes}}}=\frac{575}{2{,}6418\times 10^{-3}}\approx 217{,}675\\ \mathrm{W}\approx 217{,}7\\ \mathrm{kW}.
Energia anual antes do isolamento:
E_{\text{antes}}=\dot{Q}_{\text{antes}}\times t_{\text{op}} =217{,}675\\ \mathrm{W}\times 7500\\ \mathrm{h}.
Converter para \mathrm{GJ}:
E_{\text{antes,GJ}}=\frac{217{,}675\times 7500\times 3600}{10^{9}}\approx 5877{,}225\\ \mathrm{GJ/ano}.
Custo anual antes do isolamento:
\text{Custo}_{\text{antes}}=E_{\text{antes,GJ}}\times 5\\ \left(\$/\mathrm{GJ}\right)\approx 5877{,}225\times 5=\$29\,386{,}13.

Passo 5

Cálculo detalhado das resistências e da perda de calor APÓS a colocação do isolante (aço + isolante + convecções).
Área externa com isolante:
A_{\text{ext}}=2\pi r_{\text{ext}} L=2\pi(0{,}05715)(100)\approx 35{,}924\\ \mathrm{m^2}.
Resistências já conhecidas (conv. interna e condução no aço) mantêm os mesmos valores calculados:
R_{\text{conv},i}\approx 1{,}253\times 10^{-4}\\ \mathrm{K/W}, \quad R_{\text{cond,aço}}\approx 9{,}42\times 10^{-6}\\ \mathrm{K/W}.ç
Resistência por condução no isolamento (entre r_o e r_{\text{ext}}):
R_{\text{cond,iso}}=\frac{1}{2\pi k_{\text{iso}} L}\ln\!\left(\frac{r_{\text{ext}}}{r_o}\right) =\frac{1}{2\pi\cdot 0{,}06\cdot 100}\ln\!\left(\frac{0{,}05715}{0{,}03175}\right).
A razão \dfrac{r_{\text{ext}}}{r_o}=1{,}8 e \ln(1{,}8)\approx 0{,}58778666. Assim
R_{\text{cond,iso}}\approx \frac{0{,}58778666}{2\pi\cdot 0{,}06\cdot 100} =\frac{0{,}58778666}{37{,}6991}\approx 0{,}015589\\ \mathrm{K/W}.
Resistência convectiva externa com isolante:
R_{\text{conv},o,\text{iso}}=\frac{1}{h_o A_{\text{ext}}}=\frac{1}{20\cdot 35{,}924}\approx 1{,}392\times 10^{-3}\\ \mathrm{K/W}.
Resistência total após isolamento:
R_{\text{tot,depois}}=R_{\text{conv},i}+R_{\text{cond,aço}}+R_{\text{cond,iso}}+R_{\text{conv},o,\text{iso}} \approx 1{,}253\times 10^{-4}+9{,}42\times 10^{-6}+0{,}015589+1{,}392\times 10^{-3}.ç
R_{\text{tot,depois}}\approx 0{,}0171158\\ \mathrm{K/W}.
Taxa de perda de calor após isolamento:
\dot{Q}_{\text{depois}}=\frac{\Delta T}{R_{\text{tot,depois}}}=\frac{575}{0{,}0171158}\approx 33{,}597\\ \mathrm{W}\approx 33{,}6\\ \mathrm{kW}.
Energia anual após isolamento:
E_{\text{depois,GJ}}=\frac{33{,}597\\ \mathrm{W}\times 7500\\ \mathrm{h}\times 3600}{10^{9}}\approx 907{,}110\\ \mathrm{GJ/ano}.
Custo anual após isolamento:
\text{Custo}_{\text{depois}}=E_{\text{depois,GJ}}\times 5\\ \left(\$/\mathrm{GJ}\right) \approx 907{,}110\times 5=\$4\,535{,}55.

Passo 6

Resumo dos resultados e economia obtida (curta explicação):
  • Antes do isolamento a resistência total é baixa (domínio controlado pela convecção externa), levando a grande perda térmica ( \sim 217{,}7\\ \mathrm{kW}).
  • O isolante adiciona uma resistência de condução radial significativa ( R_{\text{cond,iso}}\approx 0{,}0156\\ \mathrm{K/W}), reduzindo a perda para \sim 33{,}6\\ \mathrm{kW}.
  • Economia anual de energia:
\Delta E_{\text{ano}}=E_{\text{antes,GJ}}-E_{\text{depois,GJ}}\approx 5877{,}225-907{,}110=4970{,}115\\ \mathrm{GJ/ano}.
  • Economia anual de custo:
\Delta \text{Custo}= \$29\,386{,}13-\$4\,535{,}55\approx \$24\,850{,}58.

Resposta

Antes do isolamento: 5877{,}225\\ \mathrm{GJ/ano}, custo \$29386{,}13
Após o isolamento: 907{,}110\\ \mathrm{GJ/ano}, custo \$4535{,}55

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