1. A resistência oferecida pelo ar à queda de um grave esférico, de raio r e de densidade d é dada pela fórmula:
F=c \cdot \rho \cdot u^{2} \cdot R^{2}
Sendo \rho a massa volumétrica, u a velocidade de queda e c um parâmetro constante. Prove que o parâmetro c é adimensional.

Passo 1

O enunciado fornece a lei da resistência do ar sobre uma esfera:
F = c \cdot \rho \cdot u^{2} \cdot R^{2}
Onde:
  • F é a força de resistência (força);
  • \rho é a massa volumétrica (densidade);
  • u é a velocidade de queda;
  • R (ou r do enunciado) é o raio da esfera;
  • c é um parâmetro constante que queremos testar.
O que o problema pede: provar que o parâmetro c é adimensional (ou seja, que não tem unidades).

Passo 2

Conceito-chave que vamos usar: análise dimensional. A ideia é comparar as dimensões (unidades fundamentais) dos dois lados da equação. Se a igualdade é física, as dimensões do lado esquerdo e do lado direito devem ser iguais. Vou listar as dimensões fundamentais relevantes e as dimensões de cada grandeza:
  • Notação: [X] denota a dimensão da grandeza X. As dimensões fundamentais que usamos são M (massa), L (comprimento) e T (tempo).
  • Força: [F] = M L T^{-2} (pois força = massa × aceleração).
  • Densidade: [\rho] = M L^{-3} (massa por volume).
  • Velocidade: [u] = L T^{-1}.
  • Raio: [R] = L.

Passo 3

Calcular a dimensão do produto \rho\,u^{2}\,R^{2}. Vamos fazer passo a passo, substituindo as dimensões:
[\rho\,u^{2}\,R^{2}] = [\rho]\,[u]^{2}\,[R]^{2}.
Substituindo:
[\rho] = M L^{-3},\qquad [u] = L T^{-1},\qquad [R]=L.
Logo,
[\rho\,u^{2}\,R^{2}] = (M L^{-3}) \cdot (L T^{-1})^{2} \cdot (L)^{2}.

Passo 4

Continuar a simplificação das potências de L e T:
(L T^{-1})^{2} = L^{2} T^{-2},
então
[\rho\,u^{2}\,R^{2}] = M L^{-3} \cdot L^{2} T^{-2} \cdot L^{2}.
Agrupando os fatores de L e T:
[\rho\,u^{2}\,R^{2}] = M \; L^{-3 + 2 + 2} \; T^{-2} = M L^{1} T^{-2}.
Portanto
[\rho\,u^{2}\,R^{2}] = M L T^{-2}.

Passo 5

Comparar com a dimensão do lado esquerdo F. Temos [F] = M L T^{-2} e do produto do lado direito obtivemos [\rho\,u^{2}\,R^{2}] = M L T^{-2}. Assim a igualdade dimensional da equação exige:
[F] = [c]\;[\rho\,u^{2}\,R^{2}].
Substituindo as dimensões:
M L T^{-2} = [c]\; (M L T^{-2}).

Passo 6

Isolar [c] dividindo os dois lados por M L T^{-2}:
[c] = \frac{M L T^{-2}}{M L T^{-2}} = 1.
Conclusão: [c]=1, ou seja, c não tem dimensão — é adimensional (sem unidades).

Resposta

c é adimensional.

Exercícios relacionados