- A resistência oferecida pelo ar à queda de um grave esférico, de raio
e de densidade
é dada pela fórmula:
Sendo
a massa volumétrica,
a velocidade de queda e
um parâmetro constante. Prove que o parâmetro
é adimensional.
Passo 1
O enunciado fornece a lei da resistência do ar sobre uma esfera:
Onde:
-
é a força de resistência (força); -
é a massa volumétrica (densidade); -
é a velocidade de queda; -
(ou do enunciado) é o raio da esfera; -
é um parâmetro constante que queremos testar.
O que o problema pede: provar que o parâmetro
é adimensional (ou seja, que não tem unidades).
Passo 2
Conceito-chave que vamos usar: análise dimensional. A ideia é comparar as dimensões (unidades fundamentais) dos dois lados da equação. Se a igualdade é física, as dimensões do lado esquerdo e do lado direito devem ser iguais. Vou listar as dimensões fundamentais relevantes e as dimensões de cada grandeza:
- Notação:
denota a dimensão da grandeza . As dimensões fundamentais que usamos são (massa), (comprimento) e (tempo). - Força:
(pois força = massa × aceleração). - Densidade:
(massa por volume). - Velocidade:
. - Raio:
.
Passo 3
Calcular a dimensão do produto
. Vamos fazer passo a passo, substituindo as dimensões:
Substituindo:
Logo,
Passo 4
Continuar a simplificação das potências de
e
:
então
Agrupando os fatores de
e
:
Portanto
Passo 5
Comparar com a dimensão do lado esquerdo
. Temos
e do produto do lado direito obtivemos
. Assim a igualdade dimensional da equação exige:
Substituindo as dimensões:
Passo 6
Isolar
dividindo os dois lados por
:
Conclusão:
, ou seja,
não tem dimensão — é adimensional (sem unidades).