Um eixo tubular de 1,6 m de comprimento e diâmetro externo de 42 mm é feito de aço com tau adm =75 MPa e G =77 GPa. Sabendo que o maior ângulo de torção admissível é de 4^circ para um torque de 900 N.m, determine o diâmetro interno do eixo.

Passo 1

Beleza, vamos primeiro entender o que a questão está pedindo e que “ferramentas” vamos usar.
Enunciado resumido:
– Temos um eixo tubular de aço com comprimento L=1,6 m, diâmetro externo D=42 mm, torque T=900 N·m.
– O material tem módulo de cisalhamento G=77 GPa e tensão de cisalhamento admissível τ_adm=75 MPa.
– O ângulo máximo de torção permitido é φ=4°.
Matéria envolvida: torção de eixos (varetas)
Fórmulas que vamos usar:
  1. Ângulo de torção
  2. Momento polar de inércia de um tubo circular
Nosso plano:
– Primeiro, usar φ para achar J.
– Depois, relacionar J com D e d para isolar o diâmetro interno d.

Passo 2

Calcular o momento polar J a partir do ângulo de torção φ.
  1. Converto tudo pra mm e N/mm²:
    • L = 1,6 m = 1600 mm
    • T = 900 N·m = 900·10³ N·mm = 9×10^5 N·mm
    • G = 77 GPa = 77×10³ N/mm²
    • φ = 4° = (4·π)/180 ≈ 0,06981 rad
  2. Uso a fórmula
    J = T,LG,φ = 9×10^5 times 160077×10^3 times 0.06981 approx 2,68×10^5;mm^4

Passo 3

Isolar o diâmetro interno d no D^4 - d^4 = 32,Jπ Longrightarrow d^4 = D^4 - 32,Jπ .
  1. Reescrevo:
    d^4 = 3,1117×10^6 - 2,729×10^6 = 0,3827×10^6 = 3,827×10^5
  2. Calculo os termos (tudo em mm):
    d = l(3,827×10^5r)^1/4 approx 24,9;mm
    Então
  3. Raiz quádrupla:

Resposta

O diâmetro interno do eixo tubular deve ser aproximadamente
boxedd approx 24,9;mm

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