Um tubo de aço laminado novo é utilizado para transportar ar (velocidade (=58 \mathrm{~m} / \mathrm{s}) ) nas condições padrões ( \mathrm{T}=15^{\circ} \mathrm{C}) ). O tubo tem diâmetro de 6 mm . Utilizando os conceitos de fator de atrito, determine: a) a perda de pressão e perdas de carga num trecho de 7,5 \mathrm{~m} considerando o escoamento como laminar; b) perda de pressão e perdas de carga considerando agora o escoamento como turbulento; c) Em relação à letra b, se para o sistema de transporte fosse usado um tubo de aço galvanizado as perdas de pressão e de carga seriam maiores ou menores.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas claras.
  • Dados fornecidos:
    • velocidade do ar: V=58\\ \mathrm{m/s};
    • temperatura ambiente: T=15^\circ\mathrm{C} (condições padrão);
    • diâmetro do tubo: D=6\\ \mathrm{mm}=0{,}006\\ \mathrm{m};
    • comprimento do trecho: L=7{,}5\\ \mathrm{m}.
  • Propriedades do ar nas condições padrão (vou usar valores padrão típicos a 15^\circ\mathrm{C}):
    • densidade: \rho=1{,}225\\ \mathrm{kg/m^3};
    • viscosidade dinâmica: \mu=1{,}81\times 10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
    • daí a viscosidade cinemática: \nu=\dfrac{\mu}{\rho}.
  • O que o enunciado pede:
    a) calcular perda de pressão \Delta p e perda de carga (carga de atrito) h_f para o trecho L supondo escoamento laminar;
    b) calcular \Delta p e h_f supondo escoamento turbulento (tubo de aço laminado novo — usaremos uma rugosidade típica para aço novo);
    c) comparar (maiores/menores) as perdas do item (b) se o tubo fosse de aço galvanizado (ou seja: como muda a perda se a rugosidade for maior).

Passo 2

Primeiro calculamos quantidades básicas que valerão tanto para (a) quanto para (b).
  • viscosidade cinemática:
\nu=\dfrac{\mu}{\rho}=\dfrac{1{,}81\times 10^{-5}}{1{,}225}=1{,}48\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s}.
  • número de Reynolds:
\mathrm{Re}=\dfrac{V D}{\nu}=\dfrac{58\cdot 0{,}006}{1{,}48\times 10^{-5}} \approx 2{,}35\times 10^{4}.
Observação rápida (só para saber): \mathrm{Re}\approx 2{,}35\cdot 10^{4} é maior que 4000, logo o escoamento real é turbulento. Mesmo assim o exercício pede os dois casos; vamos calcular ambos.
  • pressão dinâmica (meio termo útil para Darcy–Weisbach):
q=\frac{\rho V^2}{2}=\frac{1{,}225\cdot 58^2}{2} \approx 2{.}061{,}95\\ \mathrm{Pa}.
  • razão geométrica:
\frac{L}{D}=\frac{7{,}5}{0{,}006}=1250.
Também vamos usar a equação de Darcy–Weisbach, que relaciona perda de carga e fator de atrito f:
h_f = f\frac{L}{D}\frac{V^2}{2g}, \qquad \Delta p = \rho g h_f = f\frac{L}{D}\frac{\rho V^2}{2} = f\frac{L}{D}\,q.
Aqui:
  • f é o fator de atrito de Darcy (adimensional);
  • g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2};
  • h_f tem unidades de metros (carga de pressão em metros de fluido);
  • \Delta p em pascal.

Passo 3

(a) Caso laminar: qual fórmula usar e por quê?
  • Para escoamento laminar em tubos circulares a relação entre f e \mathrm{Re} é simples e conhecida:
f=\frac{64}{\mathrm{Re}}.
Essa fórmula vale quando \mathrm{Re}\lesssim 2000 — é a expressão clássica derivada da solução de Poiseuille. O enunciado pede que a gente trate o caso como laminar, portanto usaremos essa fórmula mesmo sabendo que, fisicamente, \mathrm{Re} já indica turbulência.
Calculemos f e, a partir dele, h_f e \Delta p.
  • fator de atrito laminar:
f_{\text{lam}}=\frac{64}{\mathrm{Re}}=\frac{64}{2{,}35\times 10^{4}}\approx 0{,}002718.
  • perda de pressão:
\Delta p_{\text{lam}}=f_{\text{lam}}\frac{L}{D}\,q =0{,}002718\cdot 1250\cdot 2061{,}95\\ \mathrm{Pa} \approx 7008\\ \mathrm{Pa}.
  • perda de carga:
h_{f,\text{lam}}=\frac{\Delta p_{\text{lam}}}{\rho g} =\frac{7008}{1{,}225\cdot 9{,}81}\\ \mathrm{m} \approx 583{,}2\\ \mathrm{m}.
Pequena intuição didática: parece contra-intuitivo que num trecho de 7{,}5\\ \mathrm{m} tenhamos uma “carga” de várias centenas de metros; isso ocorre porque o tubo é muito fino e a velocidade é alta — a perda de carga cresce fortemente quando o diâmetro diminui (aparece L/D grande). Na prática, com esses números o escoamento não seria laminar; foi só exercício de cálculo.

Passo 4

(b) Caso turbulento: escolher método para obter f.
  • Para tubos turbulentos, f depende de \mathrm{Re} e da rugosidade relativa \varepsilon/D. Uma forma explícita prática (válida para escoamentos totalmente turbulentos moderados) é a fórmula de Swamee–Jain:
f = 0{,}25\bigg[\log_{10}\!\Big(\frac{\varepsilon}{3{,}7D}+\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\Big)\bigg]^{-2}.
Essa fórmula é uma aproximação explícita da equação implícita de Colebrook e funciona bem para \mathrm{Re}>5{,}000.
  • precisamos escolher uma rugosidade absoluta \varepsilon para “tubo de aço laminado novo”. Um valor típico para aço novo é \varepsilon\approx 0{,}045\\ \mathrm{mm}=4{,}5\times 10^{-5}\\ \mathrm{m}. Logo:
\frac{\varepsilon}{D}=\frac{4{,}5\times 10^{-5}}{0{,}006}=7{,}5\times 10^{-3}.
Agora aplicamos Swamee–Jain.
Calculemos os termos internos:
\frac{\varepsilon}{3{,}7D}=\frac{4{,}5\times 10^{-5}}{3{,}7\cdot 0{,}006}\approx 2{,}03\times 10^{-3}, \qquad \frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\approx 6{,}66\times 10^{-4}.
Somando:
\frac{\varepsilon}{3{,}7D}+\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\approx 2{,}693\times 10^{-3}.
Tomando logaritmo e aplicando a fórmula:
f_{\text{turb}} \approx 0{,}25\big[\log_{10}(2{,}693\times 10^{-3})\big]^{-2} \approx 0{,}0379.
  • com esse f calculamos perda de pressão e perda de carga:
\Delta p_{\text{turb}}=f_{\text{turb}}\frac{L}{D}\,q =0{,}0379\cdot 1250\cdot 2061{,}95\\ \mathrm{Pa} \approx 9{,}76\times 10^{4}\\ \mathrm{Pa}\\ (\text{aprox. }97{,}6\\ \mathrm{kPa}).
h_{f,\text{turb}}=\frac{\Delta p_{\text{turb}}}{\rho g} \approx \frac{9{,}76\times 10^{4}}{1{,}225\cdot 9{,}81}\\ \mathrm{m} \approx 8119\\ \mathrm{m}.
Comentário didático: o fator f para turbulento (aqui \approx 0{,}038) é bem maior que o f laminar fictício \approx 0{,}0027. Isso, multiplicado por L/D=1250, dá uma perda de pressão muito maior no caso turbulento com a rugosidade considerada. A razão principal é que para diâmetros muito pequenos a rugosidade absoluta representa uma fração significativa do diâmetro e a resistência por atrito cresce bastante.

Passo 5

(c) E se o tubo fosse de aço galvanizado?
  • explicação qualitativa: galvanização (camada de zinco) normalmente aumenta a rugosidade interna em comparação com tubo de aço laminado novo. Rugosidade maior \Rightarrow \varepsilon/D maior \Rightarrow termo \dfrac{\varepsilon}{3{,}7D} na fórmula de Swamee–Jain aumenta \Rightarrow o logaritmo (valor negativo) tem módulo menor \Rightarrow f aumenta. Portanto as perdas ( \Delta p e h_f) aumentam quando a rugosidade aumenta.
  • ilustração numérica rápida (exemplo): se a rugosidade do galvanizado for, digamos, \varepsilon=0{,}15\\ \mathrm{mm}=1{,}5\times 10^{-4}\\ \mathrm{m}, então \varepsilon/D\approx 0{,}025. Aplicando Swamee–Jain obtemos f\approx 0{,}0552 e \Delta p\approx 1{,}42\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa} (ou seja, ainda maior que os 9{,}76\times 10^{4}\\ \mathrm{Pa} do aço laminado). Isso confirma numericamente a conclusão qualitativa: galvanizado → perdas maiores.
Resumo prático para a prova: rugosidade maior → fator de atrito maior no regime turbulento → perdas de pressão/carga maiores.

Resposta

(a) \Delta p_{\text{lam}}\approx 7{.}008\times 10^{3}\\ \mathrm{Pa}, \;h_{f,\text{lam}}\approx 583{,}2\\ \mathrm{m}.\n
(b) Para tubo de aço laminado novo (assumindo \varepsilon\approx 0{,}045\\ \mathrm{mm}): \Delta p_{\text{turb}}\approx 9{.}76\times 10^{4}\\ \mathrm{Pa}, \;h_{f,\text{turb}}\approx 8119\\ \mathrm{m}.\n
(c) Se o tubo fosse galvanizado (rugosidade maior) as perdas de pressão e de carga seriam maiores.

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