Considere uma janela de painel duplo de 0,8 \mathrm{~m} de altura e de 1,5 \mathrm{~m} de largura composta por duas placas de vidro ( k=0,78 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} ) de 4 mm de espessura, separadas por espaço de ar estagnado ( k=0,026 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} ) de 10 mm de largura. Determine a taxa de transferência de calor permanente através dessa janela de painel duplo e a temperatura da sua superfície interna considerando a temperatura da sala a 20^{\circ} \mathrm{C} e a temperatura externa de -10^{\circ} \mathrm{C}. Considere os coeficientes de transferência de calor por convecção sobre as superficies interna e externa da janela como \mathrm{h}_{1}=10 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K} e \mathrm{h}_{2}=40 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}. Esboce a resistência térmica correspondente.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede duas coisas (peguei todos os números do enunciado):
  • Dimensões da janela:
    • altura =0{,}8\\ \mathrm{m}
    • largura =1{,}5\\ \mathrm{m}
    • área A (a calcular)
  • Duas placas de vidro idênticas:
    • condutividade térmica do vidro k_{\text{vidro}}=0{,}78\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}
    • espessura de cada placa L_{\text{vidro}}=4\\ \mathrm{mm}=0{,}004\\ \mathrm{m}
  • Espaço de ar estagnado entre as placas:
    • condutividade térmica do ar k_{\text{ar}}=0{,}026\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}
    • espessura do espaço L_{\text{ar}}=10\\ \mathrm{mm}=0{,}01\\ \mathrm{m}
  • Coeficientes convectivos:
    • interno h_{1}=10\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}
    • externo h_{2}=40\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}
  • Temperaturas:
    • ambiente interno T_{\text{in}}=20^\circ\mathrm{C}
    • ambiente externo T_{\text{out}}=-10^\circ\mathrm{C}
O enunciado pede:
  1. Determinar a taxa de transferência de calor permanente através da janela (ou seja, fluxo térmico \dot{Q} no regime estacionário).
  2. Determinar a temperatura da superfície interna da janela (a face do vidro voltada para a sala).
Além disso pede “esboçar a resistência térmica correspondente” (farei um esquema textual/numérico das resistências em série).

Passo 2

Estratégia (resumida e por que usar): como o problema descreve uma transferência unidimensional do ar interno para o ar externo através de camadas (convecção interna → vidro → ar estagnado → vidro → convecção externa), modelamos o sistema como resistências térmicas em série. Para regime permanente e umidimensional vale que a diferença de temperatura total se distribui entre as resistências e
\dot{Q}=\frac{\Delta T}{R_{\text{total}}}
onde \Delta T=T_{\text{in}}-T_{\text{out}} e R_{\text{total}} é a soma das resistências convectivas e dos blocos de condução. Essa é a abordagem mais direta e prática para fazer conta na prova sem complicar com equações diferenciais.

Passo 3

Calcular a área da janela:
A = (\text{altura})\times(\text{largura}) = 0{,}8\\ \mathrm{m}\times 1{,}5\\ \mathrm{m}=1{,}2\\ \mathrm{m^{2}}.
Calcular a diferença de temperatura:
\Delta T = T_{\text{in}}-T_{\text{out}} = 20^\circ\mathrm{C}-(-10^\circ\mathrm{C})=30\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Escrever as fórmulas das resistências e explicar cada termo:
  • Resistência por convecção numa face:
R_{\text{conv}}=\frac{1}{h\,A},
onde h é o coeficiente convectivo e A é a área. Essa resistência mede a dificuldade da transferência entre o fluido e a superfície.
  • Resistência por condução de uma camada plana:
R_{\text{cond}}=\frac{L}{k\,A},
onde L é a espessura da camada, k é a condutividade térmica do material e A é a área. Representa a dificuldade de atravessar a camada por condução.
No nosso caso as resistências em série, na ordem do lado interno para o externo, são:
R_{1}=\frac{1}{h_{1}A},\quad R_{2}=\frac{L_{\text{vidro}}}{k_{\text{vidro}}A},\quad R_{3}=\frac{L_{\text{ar}}}{k_{\text{ar}}A},\quad R_{4}=\frac{L_{\text{vidro}}}{k_{\text{vidro}}A},\quad R_{5}=\frac{1}{h_{2}A}.

Passo 5

Calcular numericamente cada resistência (mostrando contas):
  • Convecção interna:
R_{1}=\frac{1}{h_{1}A}=\frac{1}{10\cdot 1{,}2}=\frac{1}{12}=0{,}083333\\ \mathrm{K/W}.
  • Condução na primeira placa de vidro:
R_{2}=\frac{L_{\text{vidro}}}{k_{\text{vidro}}A}=\frac{0{,}004}{0{,}78\cdot 1{,}2}=\frac{0{,}004}{0{,}936}=0{,}0042735\\ \mathrm{K/W}.
  • Condução no espaço de ar:
R_{3}=\frac{L_{\text{ar}}}{k_{\text{ar}}A}=\frac{0{,}01}{0{,}026\cdot 1{,}2}=\frac{0{,}01}{0{,}0312}=0{,}3205128\\ \mathrm{K/W}.
  • Condução na segunda placa de vidro (igual à primeira):
R_{4}=R_{2}=0{,}0042735\\ \mathrm{K/W}.
  • Convecção externa:
R_{5}=\frac{1}{h_{2}A}=\frac{1}{40\cdot 1{,}2}=\frac{1}{48}=0{,}0208333\\ \mathrm{K/W}.

Passo 6

Somar as resistências para obter R_{\text{total}}:
R_{\text{total}}=R_{1}+R_{2}+R_{3}+R_{4}+R_{5}.
Substituindo os números:
R_{\text{total}}=0{,}083333+0{,}0042735+0{,}3205128+0{,}0042735+0{,}0208333 =0{,}433226\\ \mathrm{K/W}.
Calcular a taxa de calor:
\dot{Q}=\frac{\Delta T}{R_{\text{total}}}=\frac{30}{0{,}433226}=69{,}3\\ \mathrm{W}\quad(\text{aprox.}).

Passo 7

Determinar a temperatura da superfície interna (a face do vidro voltada para a sala).
A queda de temperatura entre o ar da sala T_{\text{in}} e a superfície interna T_{s,\text{int}} é \Delta T_{1}=\dot{Q}R_{1}. Logo:
T_{s,\text{int}}=T_{\text{in}}-\dot{Q}R_{1}.
Substituindo:
T_{s,\text{int}}=20^\circ\mathrm{C}-69{,}3\cdot 0{,}083333 =20-5{,}775\approx 14{,}23^\circ\mathrm{C}.
(A título de verificação e para intuição, dá para calcular as temperaturas nos pontos intermediários somando as quedas de temperatura através das resistências: após a primeira placa de vidro fica cerca de 13{,}93^\circ\mathrm{C}, depois do espaço de ar fica cerca de -8{,}29^\circ\mathrm{C}, etc. A soma das quedas retorna a diferença total de 30\\ \mathrm{K}, dentro de pequenos erros de arredondamento.)

Passo 8

Esboço textual da resistência térmica (sequência em série, com valores numéricos):
T_{in}(20^\circ\mathrm{C})
R_{1}=0{,}08333\\ \mathrm{K/W} (convecção interna)
R_{2}=0{,}0042735\\ \mathrm{K/W} (vidro, 4 mm)
R_{3}=0{,}320513\\ \mathrm{K/W} (ar, 10 mm)
R_{4}=0{,}0042735\\ \mathrm{K/W} (vidro, 4 mm)
R_{5}=0{,}0208333\\ \mathrm{K/W} (convecção externa)
– T_{out}(-10^\circ\mathrm{C})
Esse é o esboço da rede de resistências térmicas em série.

Resposta

\dot{Q}=69{,}3\\ \mathrm{W}
T_{\text{superfície interna}}=14{,}23^\circ\mathrm{C}í

Exercícios relacionados