Um tubo cilíndrico possui 60 cm de comprimento e tem uma de suas extremidades abertas. a) Qual a frequência fundamental (do primeiro harmônico)? Abre-se a outra extremidade. b) Qual será, então, a frequência fundamental?

Passo 1

O enunciado dá um tubo cilíndrico com comprimento L e pede duas coisas:
  • (a) Qual é a frequência fundamental quando o tubo tem uma extremidade aberta e a outra fechada?
  • (b) Qual é a frequência fundamental quando a outra extremidade também é aberta (ou seja, o tubo fica aberto nas duas extremidades)?
Informações fornecidas:
L = 60\\ \text{cm} = 0,60\\ \text{m}.
Vou assumir a velocidade do som no ar como \,v = 340\\ \text{m/s}\, (valor típico a temperatura ambiente). Se você usar outro valor de v (por ex. 343\\ \text{m/s}), os resultados mudam proporcionalmente.

Passo 2

Conceito físico essencial (explicado devagarinho): ondas estacionárias em tubos
  • Quando uma extremidade está fechada, a partícula do ar não pode se mover ali, portanto essa extremidade é um nó de deslocamento (deslocamento zero).
  • Quando uma extremidade está aberta, o ar pode oscilar com amplitude máxima ali, portanto essa extremidade é um antinó (ventre) de deslocamento.
Esses condicionantes fixam quais frações de comprimento de onda cabem no tubo para cada modo (harmônico). O comprimento de onda \lambda e a frequência f estão relacionadas pela fórmula básica das ondas:
v = \lambda \, f,
onde v é a velocidade da onda (velocidade do som), \lambda é o comprimento de onda e f é a frequência. Vou usar essa fórmula para obter f a partir de \lambda.

Passo 3

Caso (a): tubo com uma extremidade aberta e a outra fechada (tubo fechado numa extremidade)
  • Para o modo fundamental (primeiro harmônico) num tubo com uma extremidade fechada e outra aberta, o padrão é um nó num extremo e um antinó no outro. A menor distância entre nó e antinó corresponde a um quarto de comprimento de onda. Portanto:
L = \frac{\lambda_1}{4}.
Isolando \lambda_1:
\lambda_1 = 4L.
Usando v = \lambda_1 f_1, obtemos a frequência fundamental:
f_1 = \frac{v}{\lambda_1} = \frac{v}{4L}.

Passo 4

Agora calculamos numericamente para L=0,60\\ \text{m} e v=340\\ \text{m/s}.
Primeiro calcule 4L:
4L = 4\cdot 0,60 = 2,4\\ \text{m}.
Então
f_1 = \frac{340}{2,4}.
Faço a divisão à mão passo a passo:
\frac{340}{2,4} = \frac{3400}{24} = \frac{1700}{12} = \frac{850}{6} = \frac{425}{3} \approx 141{,}666\ldots
Arredondando de forma razoável:
f_1 \approx 142\\ \text{Hz}.

Passo 5

Caso (b): tubo aberto nas duas extremidades
  • Para o modo fundamental num tubo aberto nas duas extremidades, há antinós nas duas extremidades. A menor distância entre dois antinós consecutivos é metade de um comprimento de onda. Portanto:
L = \frac{\lambda_2}{2}.
Isolando \lambda_2:
\lambda_2 = 2L.
Usando v = \lambda_2 f_2, obtemos:
f_2 = \frac{v}{\lambda_2} = \frac{v}{2L}.

Passo 6

Calcule numericamente para L=0,60\\ \text{m} e v=340\\ \text{m/s}.
Primeiro calcule 2L:
2L = 2\cdot 0,60 = 1,2\\ \text{m}.
Então
f_2 = \frac{340}{1,2}.
Dividindo:
\frac{340}{1,2} = \frac{3400}{12} = \frac{1700}{6} = \frac{850}{3} \approx 283{,}333\ldots
Arredondando:
f_2 \approx 283\\ \text{Hz}.

Passo 7

Observação útil para lembrar na prova: abrindo a extremidade que estava fechada dobramos a frequência fundamental, pois
f_2 = \frac{v}{2L} = 2\cdot\frac{v}{4L} = 2 f_1.
Isso faz sentido fisicamente — o modo fundamental de um tubo aberto-em-aberto corresponde a metade de onda no comprimento do tubo, enquanto no tubo fechado-em-aberto corresponde a um quarto de onda, então a frequência dobra.

Resposta

(a) f_1 \approx 142\\ \text{Hz}
(b) f_2 \approx 283\\ \text{Hz}

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