Um tubo cilíndrico possui 60 cm de comprimento e tem uma de suas extremidades abertas. a) Qual a frequência fundamental (do primeiro harmônico)? Abre-se a outra extremidade. b) Qual será, então, a frequência fundamental?
Passo 1
O enunciado dá um tubo cilíndrico com comprimento
e pede duas coisas:
- (a) Qual é a frequência fundamental quando o tubo tem uma extremidade aberta e a outra fechada?
- (b) Qual é a frequência fundamental quando a outra extremidade também é aberta (ou seja, o tubo fica aberto nas duas extremidades)?
Informações fornecidas:
Vou assumir a velocidade do som no ar como
(valor típico a temperatura ambiente). Se você usar outro valor de
(por ex.
), os resultados mudam proporcionalmente.
Passo 2
Conceito físico essencial (explicado devagarinho): ondas estacionárias em tubos
- Quando uma extremidade está fechada, a partícula do ar não pode se mover ali, portanto essa extremidade é um nó de deslocamento (deslocamento zero).
- Quando uma extremidade está aberta, o ar pode oscilar com amplitude máxima ali, portanto essa extremidade é um antinó (ventre) de deslocamento.
Esses condicionantes fixam quais frações de comprimento de onda cabem no tubo para cada modo (harmônico). O comprimento de onda
e a frequência
estão relacionadas pela fórmula básica das ondas:
onde
é a velocidade da onda (velocidade do som),
é o comprimento de onda e
é a frequência. Vou usar essa fórmula para obter
a partir de
.
Passo 3
Caso (a): tubo com uma extremidade aberta e a outra fechada (tubo fechado numa extremidade)
- Para o modo fundamental (primeiro harmônico) num tubo com uma extremidade fechada e outra aberta, o padrão é um nó num extremo e um antinó no outro. A menor distância entre nó e antinó corresponde a um quarto de comprimento de onda. Portanto:
Isolando
:
Usando
, obtemos a frequência fundamental:
Passo 4
Agora calculamos numericamente para
e
.
Primeiro calcule :
Primeiro calcule
Então
Faço a divisão à mão passo a passo:
Arredondando de forma razoável:
Passo 5
Caso (b): tubo aberto nas duas extremidades
- Para o modo fundamental num tubo aberto nas duas extremidades, há antinós nas duas extremidades. A menor distância entre dois antinós consecutivos é metade de um comprimento de onda. Portanto:
Isolando
:
Usando
, obtemos:
Passo 6
Calcule numericamente para
e
.
Primeiro calcule :
Primeiro calcule
Então
Dividindo:
Arredondando:
Passo 7
Observação útil para lembrar na prova: abrindo a extremidade que estava fechada dobramos a frequência fundamental, pois
Isso faz sentido fisicamente — o modo fundamental de um tubo aberto-em-aberto corresponde a metade de onda no comprimento do tubo, enquanto no tubo fechado-em-aberto corresponde a um quarto de onda, então a frequência dobra.
Resposta
(a)
(b)
(b)