Uma onda estacionária em um tubo possui cinco nós e cinco antinós. a) Quantas extremidades abertas tem o tubo? b) A que harmônico corresponde esta onda estacionária?

Passo 1

Enunciado e o que pedem.
  • Dado: uma onda estacionária em um tubo possui \,5\, nós e \,5\, antinós.
  • Perguntas:
    a) Quantas extremidades abertas tem o tubo?
    b) A que harmônico corresponde esta onda estacionária?

Passo 2

O que é nó e o que é antinó (aula rápida).
  • Nó: ponto onde a amplitude da oscilação (deslocamento do ar, no caso de um tubo) é sempre \,0\,. Ou seja, o ar não se move ali.
  • Antinó: ponto onde a amplitude é máxima (oscilação máxima).
    Esses pontos aparecem em posições fixas para ondas estacionárias e dependem das condições nas extremidades do tubo.

Passo 3

Condição nas extremidades do tubo (por que isso importa).
  • Extremidade aberta: o ar pode deslocar-se livremente → extremidade é um antinó de deslocamento.
  • Extremidade fechada: o ar não se move (paredes) → extremidade é um nó de deslocamento.
    Portanto, o tipo (aberta/fechada) de cada extremidade determina se lá haverá nó ou antinó.

Passo 4

Contagem de nós e antinós para os três casos usuais (regras práticas).
Vou chamar de modo ou número do modo por m (inteiro positivo). As relações mais simples são:
  • Tubo com as duas extremidades abertas (aberto-aberto):
    antinós =\; m+1, nós =\; m, com m=1,2,3,\dots.
    Ex.: m=1 → antinós =2, nós =1.
  • Tubo com as duas extremidades fechadas (fechado-fechado):
    nós =\; m+1, antinós =\; m.
    Ex.: m=1 → nós =2, antinós =1.
  • Tubo com uma extremidade aberta e outra fechada (aberto-fechado):
    nós =\; m, antinós =\; m, com m=1,2,3,\dots.
    Ex.: m=1 → nós =1, antinós =1; m=2 → nós =2, antinós =2.
    Essas fórmulas vêm da construção da onda estacionária em segmentos de quarto/meio comprimento de onda conforme as condições nas extremidades.

Passo 5

Aplicando à informação do enunciado.
Temos nós =\;5 e antinós =\;5. Olhando as relações do passo anterior: apenas o caso aberto-fechado (uma extremidade aberta e outra fechada) dá números iguais de nós e antinós ( m=m). Logo o tubo deve ser do tipo aberto-fechado.

Passo 6

Resposta da parte (a) — número de extremidades abertas.
Se o tubo é aberto-fechado, então tem exatamente uma extremidade aberta. Portanto: o número de extremidades abertas é \,1\,.

Passo 7

Determinar o harmônico (parte b).
No caso aberto-fechado a contagem dos modos é tal que o número de nós (ou de antinós) é igual ao número do modo m. Como nós =5, segue que m=5.
Interpretação: é o 5^{\circ} modo permitido do tubo (ou seja, o 5^{\circ} harmônico da série de modos desse tubo aberto-fechado). Observação adicional (opcional): se alguém comparar com a sequência de harmônicos de um tubo aberto-aberto (ou com uma corda fixa nos dois extremos), esse 5^{\circ} modo de um tubo aberto-fechado corresponde ao 2\cdot5-1=9^{\circ} harmônico nessa outra contagem (porque o aberto-fechado admite apenas os harmônicos ímpares 1,3,5,\dots).

Resposta

a) \text{1 extremidade aberta}
b) \text{5º harmônico (5º modo)}ºôº

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