Uma onda estacionária em um tubo possui cinco nós e cinco antinós. a) Quantas extremidades abertas tem o tubo? b) A que harmônico corresponde esta onda estacionária?
Passo 1
Enunciado e o que pedem.
- Dado: uma onda estacionária em um tubo possui
nós e antinós. - Perguntas:
a) Quantas extremidades abertas tem o tubo?
b) A que harmônico corresponde esta onda estacionária?
Passo 2
O que é nó e o que é antinó (aula rápida).
- Nó: ponto onde a amplitude da oscilação (deslocamento do ar, no caso de um tubo) é sempre
. Ou seja, o ar não se move ali. - Antinó: ponto onde a amplitude é máxima (oscilação máxima).
Esses pontos aparecem em posições fixas para ondas estacionárias e dependem das condições nas extremidades do tubo.
Passo 3
Condição nas extremidades do tubo (por que isso importa).
- Extremidade aberta: o ar pode deslocar-se livremente → extremidade é um antinó de deslocamento.
- Extremidade fechada: o ar não se move (paredes) → extremidade é um nó de deslocamento.
Portanto, o tipo (aberta/fechada) de cada extremidade determina se lá haverá nó ou antinó.
Passo 4
Contagem de nós e antinós para os três casos usuais (regras práticas).
Vou chamar de modo ou número do modo por (inteiro positivo). As relações mais simples são:
Vou chamar de modo ou número do modo por
- Tubo com as duas extremidades abertas (aberto-aberto):
antinós , nós , com .
Ex.:→ antinós , nós . - Tubo com as duas extremidades fechadas (fechado-fechado):
nós , antinós .
Ex.:→ nós , antinós . - Tubo com uma extremidade aberta e outra fechada (aberto-fechado):
nós , antinós , com .
Ex.:→ nós , antinós ; → nós , antinós .
Essas fórmulas vêm da construção da onda estacionária em segmentos de quarto/meio comprimento de onda conforme as condições nas extremidades.
Passo 5
Aplicando à informação do enunciado.
Temos nós e antinós
. Olhando as relações do passo anterior: apenas o caso aberto-fechado (uma extremidade aberta e outra fechada) dá números iguais de nós e antinós (
). Logo o tubo deve ser do tipo aberto-fechado.
Temos nós
Passo 6
Resposta da parte (a) — número de extremidades abertas.
Se o tubo é aberto-fechado, então tem exatamente uma extremidade aberta. Portanto: o número de extremidades abertas é .
Se o tubo é aberto-fechado, então tem exatamente uma extremidade aberta. Portanto: o número de extremidades abertas é
Passo 7
Determinar o harmônico (parte b).
No caso aberto-fechado a contagem dos modos é tal que o número de nós (ou de antinós) é igual ao número do modo . Como nós
, segue que
.
Interpretação: é o modo permitido do tubo (ou seja, o
harmônico da série de modos desse tubo aberto-fechado). Observação adicional (opcional): se alguém comparar com a sequência de harmônicos de um tubo aberto-aberto (ou com uma corda fixa nos dois extremos), esse
modo de um tubo aberto-fechado corresponde ao
harmônico nessa outra contagem (porque o aberto-fechado admite apenas os harmônicos ímpares
).
No caso aberto-fechado a contagem dos modos é tal que o número de nós (ou de antinós) é igual ao número do modo
Interpretação: é o
Resposta
a)
b)
b)