A corda lá de um violino, com 2 g , possui 30 cm de comprimento (entre suas extremidades fixas). Ao vibrar, emite uma nota lá ( 440 Hz ). a) Qual a velocidade da onda na corda? b) Qual a tração na corda? c) Qual a frequência correspondente ao terceiro harmônico? d) Que ponto da corda deve ser imobilizado com o dedo para que a nota ouvida seja um dó ( 528 Hz )? ( 34 \mathrm{P} ; 18.6 ; \mathrm{H}, \mathrm{R} \& \mathrm{~W} ) e) Considere 340 \mathrm{~m} / \mathrm{s} a velocidade do som no ar. Quando a corda vibrar, qual será o comprimento de onda do som que viaja pelo ar?

Passo 1

O enunciado dá uma corda de violino com massa 2\\ \mathrm{g} e comprimento entre extremidades fixas 30\\ \mathrm{cm}. Ao vibrar, ela produz a nota lá (frequência fundamental) de 440\\ \mathrm{Hz}. As perguntas são:
a) Qual a velocidade da onda na corda?
b) Qual a tração na corda?
c) Qual a frequência do terceiro harmônico?
d) Em que ponto da corda devemos imobilizar com o dedo para que a nota ouvida seja um dó de 528\\ \mathrm{Hz}?
e) Considerando 340\\ \mathrm{m/s} a velocidade do som no ar, qual será o comprimento de onda do som que viaja pelo ar quando a corda vibrar?
Informações fornecidas (em notação matemática):
m = 2\\ \mathrm{g} = 0{,}002\\ \mathrm{kg},
L = 30\\ \mathrm{cm} = 0{,}30\\ \mathrm{m},
f_1 = 440\\ \mathrm{Hz},
c_{\text{ar}} = 340\\ \mathrm{m/s}.

Passo 2

Entender a relação entre frequência, velocidade e comprimento de onda: para ondas em geral vale
v = f\,\lambda,
onde v é a velocidade da onda na corda, f é a frequência e \lambda é o comprimento de onda. Para a fundamental (primeiro modo) de uma corda com as extremidades fixas, o padrão de vibração tem um máximo no meio e nós nas extremidades, logo o comprimento de onda do fundamental é
\lambda_1 = 2L.
Aqui cada meia onda cabe no comprimento L. Isso é importante: lembre que o modo fundamental tem exatamente meia onda entre as extremidades fixas.
Então, substituindo \lambda_1 = 2L em v = f_1\lambda_1 obtemos
v = f_1 \cdot 2L.
Vamos calcular numericamente: 2L = 2\cdot 0{,}30\\ \mathrm{m} = 0{,}60\\ \mathrm{m}. Portanto
v = 440\\ \mathrm{Hz}\times 0{,}60\\ \mathrm{m} = 264\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação rápida: a onda se desloca ao longo da corda a 264\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Para calcular a tração precisamos da densidade linear da corda \mu, que é massa por unidade de comprimento:
\mu = \frac{m}{L}.
Substituindo os valores:
\mu = \frac{0{,}002\\ \mathrm{kg}}{0{,}30\\ \mathrm{m}} = 0{,}006\overline{6}\\ \mathrm{kg/m}.
É útil notar que 0{,}006\overline{6} = \tfrac{1}{150}\\ \mathrm{kg/m}. Guarde \mu para o próximo passo.

Passo 4

Relação entre velocidade da onda, tração e densidade linear: para ondas em corda idealizada vale
v = \sqrt{\frac{T}{\mu}},
onde T é a tração (força longitudinal) na corda e \mu é a densidade linear. Esta fórmula vem da análise dinâmica da corda (pequenas transversas) e diz que maior tensão ou menor massa por comprimento aumentam a velocidade de propagação.
Isolando T:
T = \mu v^2.
Já temos \mu = 0{,}006\overline{6}\\ \mathrm{kg/m} e v = 264\\ \mathrm{m/s}. Então
v^2 = 264^2 = 69696,
T = 0{,}006\overline{6}\times 69696 = \frac{1}{150}\times 69696 = 464{,}64\\ \mathrm{N}.
Arredondando de forma prática na prova, você pode dar T\approx 4,65\times 10^{2}\\ \mathrm{N} ou T\approx 465\\ \mathrm{N}.

Passo 5

Terceiro harmônico: para uma corda fixa nas duas extremidades os harmônicos têm frequências
f_n = n f_1,
onde n é um inteiro positivo (1 para o fundamental, 2 para o segundo harmônico, etc.). Para o terceiro harmônico ( n=3):
f_3 = 3 f_1 = 3\times 440\\ \mathrm{Hz} = 1320\\ \mathrm{Hz}.
Explicação física rápida: o terceiro harmônico tem três meias-ondas ao longo do comprimento total da corda.

Passo 6

Queremos que, ao imobilizar a corda com o dedo (isto é, reduzindo o comprimento efetivo vibrante), a nova frequência fundamental seja 528\\ \mathrm{Hz}. Se a nova extensão vibrante for L', a frequência fundamental correspondente é
f' = \frac{v}{2L'}.
Isolando L':
L' = \frac{v}{2f'}.
Substituindo v=264\\ \mathrm{m/s} e f'=528\\ \mathrm{Hz}:
L' = \frac{264}{2\times 528} = \frac{264}{1056} = 0{,}25\\ \mathrm{m} = 25\\ \mathrm{cm}.
Interpretação prática: para obter dó a 528\\ \mathrm{Hz} você deve imobilizar a corda de modo que a parte vibrante tenha 25\\ \mathrm{cm}. Como a corda inteira tem 30\\ \mathrm{cm}, isso significa posicionar o dedo a 25\\ \mathrm{cm} de uma extremidade (ou, equivalentemente, a 5\\ \mathrm{cm} da outra extremidade). Na prática do violino isso equivale a pressionar a corda sobre a escala a uma posição que deixe 25\\ \mathrm{cm} de comprimento livre.

Passo 7

Comprimento de onda do som no ar: o som gerados pela corda tem a mesma frequência da vibração da corda (assumindo acoplamento eficiente). Para o caso padrão (nota lá) usamos f=440\\ \mathrm{Hz}. A velocidade do som no ar dada é c_{\text{ar}}=340\\ \mathrm{m/s}. O comprimento de onda no ar é
\lambda_{\text{ar}} = \frac{c_{\text{ar}}}{f}.
Substituindo:
\lambda_{\text{ar}} = \frac{340\\ \mathrm{m/s}}{440\\ \mathrm{Hz}} = 0{,}7727\ldots\\ \mathrm{m}\approx 0{,}773\\ \mathrm{m}.
Portanto, quando a corda vibra em 440\\ \mathrm{Hz}, o som que se propaga pelo ar tem comprimento de onda aproximadamente 0{,}773\\ \mathrm{m}.

Resposta

a) v = 264\\ \mathrm{m/s}
b) T = 464{,}64\\ \mathrm{N} (aprox. 4,65\times10^{2}\\ \mathrm{N})
c) f_3 = 1320\\ \mathrm{Hz}
d) Imobilizar a 25\\ \mathrm{cm} de uma extremidade (ou seja, deixar comprimento vibrante L'=25\\ \mathrm{cm})
e) \lambda_{\text{ar}} \approx 0{,}773\\ \mathrm{m}

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