A corda lá de um violino, com 2 g , possui 30 cm de comprimento (entre suas extremidades fixas). Ao vibrar, emite uma nota lá ( 440 Hz ). a) Qual a velocidade da onda na corda? b) Qual a tração na corda? c) Qual a frequência correspondente ao terceiro harmônico? d) Que ponto da corda deve ser imobilizado com o dedo para que a nota ouvida seja um dó ( 528 Hz )? (
) e) Considere
a velocidade do som no ar. Quando a corda vibrar, qual será o comprimento de onda do som que viaja pelo ar?
Passo 1
O enunciado dá uma corda de violino com massa
e comprimento entre extremidades fixas
. Ao vibrar, ela produz a nota lá (frequência fundamental) de
. As perguntas são:
a) Qual a velocidade da onda na corda?
b) Qual a tração na corda?
c) Qual a frequência do terceiro harmônico?
d) Em que ponto da corda devemos imobilizar com o dedo para que a nota ouvida seja um dó de ?
e) Considerando a velocidade do som no ar, qual será o comprimento de onda do som que viaja pelo ar quando a corda vibrar?
a) Qual a velocidade da onda na corda?
b) Qual a tração na corda?
c) Qual a frequência do terceiro harmônico?
d) Em que ponto da corda devemos imobilizar com o dedo para que a nota ouvida seja um dó de
e) Considerando
Informações fornecidas (em notação matemática):
Passo 2
Entender a relação entre frequência, velocidade e comprimento de onda: para ondas em geral vale
onde
é a velocidade da onda na corda,
é a frequência e
é o comprimento de onda. Para a fundamental (primeiro modo) de uma corda com as extremidades fixas, o padrão de vibração tem um máximo no meio e nós nas extremidades, logo o comprimento de onda do fundamental é
Aqui cada meia onda cabe no comprimento
. Isso é importante: lembre que o modo fundamental tem exatamente meia onda entre as extremidades fixas.
Então, substituindo
em
obtemos
Vamos calcular numericamente:
. Portanto
Interpretação rápida: a onda se desloca ao longo da corda a
.
Passo 3
Para calcular a tração precisamos da densidade linear da corda
, que é massa por unidade de comprimento:
Substituindo os valores:
É útil notar que
. Guarde
para o próximo passo.
Passo 4
Relação entre velocidade da onda, tração e densidade linear: para ondas em corda idealizada vale
onde
é a tração (força longitudinal) na corda e
é a densidade linear. Esta fórmula vem da análise dinâmica da corda (pequenas transversas) e diz que maior tensão ou menor massa por comprimento aumentam a velocidade de propagação.
Isolando
:
Já temos
e
. Então
Arredondando de forma prática na prova, você pode dar
ou
.
Passo 5
Terceiro harmônico: para uma corda fixa nas duas extremidades os harmônicos têm frequências
onde
é um inteiro positivo (1 para o fundamental, 2 para o segundo harmônico, etc.). Para o terceiro harmônico (
):
Explicação física rápida: o terceiro harmônico tem três meias-ondas ao longo do comprimento total da corda.
Passo 6
Queremos que, ao imobilizar a corda com o dedo (isto é, reduzindo o comprimento efetivo vibrante), a nova frequência fundamental seja
. Se a nova extensão vibrante for
, a frequência fundamental correspondente é
Isolando
:
Substituindo
e
:
Interpretação prática: para obter dó a
você deve imobilizar a corda de modo que a parte vibrante tenha
. Como a corda inteira tem
, isso significa posicionar o dedo a
de uma extremidade (ou, equivalentemente, a
da outra extremidade). Na prática do violino isso equivale a pressionar a corda sobre a escala a uma posição que deixe
de comprimento livre.
Passo 7
Comprimento de onda do som no ar: o som gerados pela corda tem a mesma frequência da vibração da corda (assumindo acoplamento eficiente). Para o caso padrão (nota lá) usamos
. A velocidade do som no ar dada é
. O comprimento de onda no ar é
Substituindo:
Portanto, quando a corda vibra em
, o som que se propaga pelo ar tem comprimento de onda aproximadamente
.
Resposta
a)
b) (aprox.
)
c)
d) Imobilizar a de uma extremidade (ou seja, deixar comprimento vibrante
)
e)
b)
c)
d) Imobilizar a
e)