Um tubo cilíndrico tem 3 m de comprimento, 5 c m de raio interno e 0,4 c m de espessura>. Usando diferenciais, ache uma aproximação para a quantidade de material usado na fabricação do tubo.

Passo 1

O enunciado pede: “Usando diferenciais, ache uma aproximação para a quantidade de material usado na fabricação do tubo.”
Informações dadas:
  • comprimento do tubo: h = 3\\ \mathrm{m}.
  • raio interno: r = 5\\ \mathrm{cm}.
  • espessura da parede (pequeno aumento no raio): dr = 0,4\\ \mathrm{cm}.
Observação importante sobre unidades: os raios e a espessura estão em centímetros, enquanto o comprimento está em metros. Para trabalhar com tudo consistente, vou converter o comprimento para centímetros antes de calcular.

Passo 2

Converter o comprimento para centímetros:
h = 3\\ \mathrm{m} = 300\\ \mathrm{cm}.
Fórmula do volume de um cilindro (usada como função do raio):
V(R)=\pi R^{2}h,
onde R é o raio externo do cilindro e h é a altura (comprimento). Aqui a quantidade de material usada é a diferença entre o volume do cilindro externo (raio r+dr) e o volume do cilindro interno (raio r):
\Delta V = V(r+dr)-V(r).

Passo 3

Explicar o uso de diferenciais: a diferença exata pode ser desenvolvida algébrica e exatamente,
\Delta V = \pi\big((r+dr)^{2}-r^{2}\big)h=\pi(2r\,dr+dr^{2})h.
A aproximação por diferenciais consiste em desprezar o termo de ordem superior dr^{2} (porque dr é pequeno) e ficar com o termo linear em dr. O diferencial dV é dado por
dV=V'(r)\,dr,
e como V'(R)=\dfrac{d}{dR}(\pi R^{2}h)=2\pi R h, temos
dV=2\pi r h\,dr.
Isso é justamente a aproximação linear de \Delta V quando dr é pequeno.

Passo 4

Agora substituir os valores (todos em \mathrm{cm}):
r=5,\qquad dr=0,4,\qquad h=300.
Calcular dV:
dV=2\pi r h\,dr = 2\pi\cdot 5\cdot 300\cdot 0,4.
Fazendo as contas passo a passo:
2\cdot 5 = 10,\quad 10\cdot 300 = 3000,\quad 3000\cdot 0,4 = 1200.
Logo
dV = 1200\pi\\ \mathrm{cm}^{3}.
Uma aproximação numérica:
1200\pi \approx 3769,911\\ \mathrm{cm}^{3}.
Converte-se para litros ( 1\\ \mathrm{L}=1000\\ \mathrm{cm}^{3}) se quiser:
\approx 3,7699\\ \mathrm{L}\approx 3,77\\ \mathrm{L}.
Em metros cúbicos ( 1\\ \mathrm{cm}^{3}=10^{-6}\\ \mathrm{m}^{3}):
\approx 0,0037699\\ \mathrm{m}^{3}.

Passo 5

Comentário sobre precisão (útil na prova): o valor exato, sem desprezar dr^{2}, seria
\Delta V_{\text{exato}}=\pi(2r\,dr+dr^{2})h=\pi(4+0,16)\cdot 300=\;1248\pi\\ \mathrm{cm}^{3}\approx 3920,708\\ \mathrm{cm}^{3}.
Assim o termo desprezado corresponde a 48\pi\\ \mathrm{cm}^{3}\approx 150,8\\ \mathrm{cm}^{3}, ou seja, o erro relativo da aproximação linear é cerca de 3{,}8\%. Isso mostra que a aproximação por diferenciais é bastante razoável aqui, mas não perfeitamente exata.

Passo 6

Resumo didático rápido para a prova: ao ter um corpo cuja medida muda pouco (aqui, o raio aumenta em dr), modela-se a variação de volume com dV=V'(r)\,dr. Para cilindro V=\pi r^{2}h, então dV=2\pi r h\,dr. Substitui-se os valores (atenção às unidades) e pronto — resposta aproximada.

Resposta

V\approx 1200\pi\\ \mathrm{cm}^{3}\approx 3769,9\\ \mathrm{cm}^{3}

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