Um tubo cilíndrico tem
de comprimento,
de raio interno e
de espessura>. Usando diferenciais, ache uma aproximação para a quantidade de material usado na fabricação do tubo.
Passo 1
O enunciado pede: “Usando diferenciais, ache uma aproximação para a quantidade de material usado na fabricação do tubo.”
Informações dadas:
- comprimento do tubo:
. - raio interno:
. - espessura da parede (pequeno aumento no raio):
.
Observação importante sobre unidades: os raios e a espessura estão em centímetros, enquanto o comprimento está em metros. Para trabalhar com tudo consistente, vou converter o comprimento para centímetros antes de calcular.
Passo 2
Converter o comprimento para centímetros:
Fórmula do volume de um cilindro (usada como função do raio):
onde
é o raio externo do cilindro e
é a altura (comprimento). Aqui a quantidade de material usada é a diferença entre o volume do cilindro externo (raio
) e o volume do cilindro interno (raio
):
Passo 3
Explicar o uso de diferenciais: a diferença exata pode ser desenvolvida algébrica e exatamente,
A aproximação por diferenciais consiste em desprezar o termo de ordem superior
(porque
é pequeno) e ficar com o termo linear em
. O diferencial
é dado por
e como
, temos
Isso é justamente a aproximação linear de
quando
é pequeno.
Passo 4
Agora substituir os valores (todos em
):
Calcular
:
Fazendo as contas passo a passo:
Logo
Uma aproximação numérica:
Converte-se para litros (
) se quiser:
Em metros cúbicos (
):
Passo 5
Comentário sobre precisão (útil na prova): o valor exato, sem desprezar
, seria
Assim o termo desprezado corresponde a
, ou seja, o erro relativo da aproximação linear é cerca de
. Isso mostra que a aproximação por diferenciais é bastante razoável aqui, mas não perfeitamente exata.
Passo 6
Resumo didático rápido para a prova: ao ter um corpo cuja medida muda pouco (aqui, o raio aumenta em
), modela-se a variação de volume com
. Para cilindro
, então
. Substitui-se os valores (atenção às unidades) e pronto — resposta aproximada.