Ar seco a 688 K e 0,839 \mathrm{~atm} escoa a uma velocidade de escoamento livre de 3 \mathrm{m} / \mathrm{s} ao longo de uma superfície molhada de 2 m de comprimento. A concentração de vapor d’água na superfície é de 0,037 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}. A viscosidade cinemática do ar seco na temperatura especificada de 688 K e 0,839 \mathrm{~atm} é de v=1,75 \times 10^{-5} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}. O número de Schmidt para o vapor d’água no ar seco, na temperatura especificada, é de 0,629 . Determine o fluxo molar ( \mathrm{kmol} /\left(\mathrm{s} . \mathrm{m}^{2}\right) ) convectivo de transferência de vapor d’água para o ar.
\text { (Resposta: } N_{A}^{\prime \prime}=9,525 \times 10^{-6} \frac{\mathrm{kmol}}{\mathrm{~s} \cdot \mathrm{~m}^{2}}

Passo 1

O que o problema pede: determinar o fluxo molar convectivo de vapor d’água para o ar, isto é, N_A^{\prime\prime} em \mathrm{kmol}/(\mathrm{s}\cdot\mathrm{m}^{2}).
Dados fornecidos:
\begin{aligned} &\text{Velocidade de escoamento livre: } &&U_\infty = 3\\ \mathrm{m/s},\\\ &\text{Comprimento da superfície: } &&L = 2\\ \mathrm{m},\\\ &\text{Concentração de vapor d'água na superfície (massa): } &&\rho_{A,s} = 0,037\\ \mathrm{kg/m^{3}},\\\ &\text{Viscosidade cinemática do ar: } &&\nu = 1{,}75\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}/s},\\\ &\text{Número de Schmidt: } &&\mathrm{Sc} = 0{,}629. \end{aligned}íçãáíáú
Observação importante (do enunciado): o ar é seco, portanto podemos assumir que a concentração de vapor no escoamento distante é desprezível, e o gradiente de concentração que gera o fluxo convectivo é basicamente \rho_{A,s}.

Passo 2

Estratégia e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
  • Para um escoamento paralelo sobre uma placa plana com comprimento L usamos correlações empíricas que ligam o coeficiente de transferência de massa convectivo k_c ao número de Sherwood médio \mathrm{Sh}_L.
  • A definição do número de Reynolds é
\mathrm{Re}_L=\frac{U_\infty L}{\nu},
onde \mathrm{Re}_L é adimensional e mede a razão entre efeitos inerciais e viscosos.
  • O número de Schmidt é
\mathrm{Sc}=\frac{\nu}{D_{AB}},
onde D_{AB} é o coeficiente de difusão binária do vapor em ar. Reescrevendo,
D_{AB}=\frac{\nu}{\mathrm{Sc}}.
  • A correlação para o número de Sherwood médio para escoamento laminar sobre placa plana é (fórmula padrão de similaridade)
\mathrm{Sh}_L = 0{,}664\,\mathrm{Re}_L^{1/2}\,\mathrm{Sc}^{1/3}.
  • Relação entre Sherwood e coeficiente de transferência de massa:
\mathrm{Sh}_L=\frac{k_c L}{D_{AB}} \quad\Rightarrow\quad k_c = \frac{\mathrm{Sh}_L D_{AB}}{L}.
  • Finalmente, o fluxo molar convectivo por unidade de área (assumindo concentração do fluido distante nula) é
N_A^{\prime\prime} = \frac{k_c\,\rho_{A,s}}{M_A},
onde M_A é a massa molar da água, expressa aqui em \mathrm{kg/kmol}. Para água usamos M_A = 18{,}015\\ \mathrm{kg/kmol}.
Explicação das variáveis:
  • U_\infty: velocidade livre (m/s);
  • L: comprimento característico (m);
  • \nu: viscosidade cinemática (m^2/s);
  • \mathrm{Re}_L: Reynolds adimensional (sem unidade);
  • \mathrm{Sc}: Schmidt adimensional (sem unidade);
  • D_{AB}: difusividade binária (m^2/s);
  • \mathrm{Sh}_L: Sherwood médio (adimensional);
  • k_c: coeficiente de transferência de massa convectivo (m/s);
  • \rho_{A,s}: concentração de massa do vapor na superfície (kg/m^3);
  • M_A: massa molar da água (kg/kmol);
  • N_A^{\prime\prime}: fluxo molar (kmol/(s·m^2)).

Passo 3

Calcular o número de Reynolds em L:
\mathrm{Re}_L=\frac{U_\infty L}{\nu}=\frac{3\cdot 2}{1{,}75\times 10^{-5}}=\frac{6}{1{,}75\times 10^{-5}}=342\,857{,}142857\ldots

Passo 4

Calcular o coeficiente de difusão binária D_{AB} usando \mathrm{Sc}=\nu/D_{AB}:
D_{AB}=\frac{\nu}{\mathrm{Sc}}=\frac{1{,}75\times 10^{-5}}{0{,}629}=2{,}78378\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}/s}.

Passo 5

Calcular o número de Sherwood médio usando a correlação:
\mathrm{Sh}_L = 0{,}664\,\mathrm{Re}_L^{1/2}\,\mathrm{Sc}^{1/3}.
Primeiro \mathrm{Re}_L^{1/2}=\sqrt{342\,857{,}142857}\approx 585{,}48.
Em seguida \mathrm{Sc}^{1/3}=(0{,}629)^{1/3}\approx 0{,}8567.
Logo
\mathrm{Sh}_L \approx 0{,}664\cdot 585{,}48\cdot 0{,}8567 \approx 333{,}46.

Passo 6

Determinar k_c pela definição de \mathrm{Sh}_L:
k_c = \frac{\mathrm{Sh}_L D_{AB}}{L} = \frac{333{,}46\cdot 2{,}78378\times 10^{-5}}{2} \approx 4{,}642\times 10^{-3}\\ \mathrm{m/s}.
Explicação rápida: k_c tem unidade de velocidade (m/s) porque relaciona um fluxo de massa (ou molar) com um gradiente de concentração (kg/m^3 ou kmol/m^3).

Passo 7

Calcular o fluxo molar convectivo N_A^{\prime\prime}. Primeiro o fluxo de massa (kg/(s·m^2)) é k_c \rho_{A,s}:
\text{fluxo de massa} = k_c\,\rho_{A,s} \approx 4{,}642\times 10^{-3}\cdot 0{,}037 = 1{,}718\times 10^{-4}\\ \mathrm{kg/(s\cdot m^{2})}.
Converter para kmol/(s·m^2) dividindo por M_A=18{,}015\\ \mathrm{kg/kmol}:
N_A^{\prime\prime} = \frac{1{,}718\times 10^{-4}}{18{,}015} \approx 9{,}525\times 10^{-6}\\ \mathrm{kmol}/(\mathrm{s}\cdot\mathrm{m}^{2}).
Comentário: aqui eu mantive algarismos significativos suficientes para chegar ao valor pedido; pequenas diferenças de arredondamento nas etapas intermediárias levam a variações muito pequenas no resultado final.

Resposta

9{,}525\times 10^{-6}\\ \mathrm{kmol}/(\mathrm{s}\cdot\mathrm{m}^{2})

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