Por um tubo horizontal de diâmetro interno D e comprimento total L escoa um fluido de massa especifica
em regime permanente. A vazão volumétrica é
e a variação de pressão observada no escoamento é
. Admitindo que o escoamento é completamente rugoso (turbulento) em todas as situações, calcule o novo valor de variação de
em função de
para os seguintes casos:
A vazão volumétrica é metade da original e o diâmetro interno é
do original, mantidos L e
constantes.
A vazão volumétrica é metade da original e o diâmetro interno é
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um tubo horizontal com diâmetro interno $ D $, comprimento $ L $, e um fluido com massa específica $ \rho $ escoando de forma constante. A vazão volumétrica original é $ Q $ e a variação de pressão no tubo é $ \Delta P $. Queremos descobrir como a variação de pressão $ \Delta P $ muda quando a vazão é reduzida para metade ($ Q/2
0,7D $). Vamos resolver isso passo a passo usando conceitos de escoamento turbulento em tubos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula que relaciona a variação de pressão $ \Delta P $ em um tubo com:
Aqui:
- $ f $ é o fator de atrito,
- $ L $ é o comprimento do tubo,
- $ D $ é o diâmetro interno,
- $ \rho $ é a massa específica do fluido,
- $ V $ é a velocidade do fluido.
Como precisamos relacionar $ \Delta P $ com a vazão volumétrica $ Q $, vamos expressar a velocidade $ V $ em termos de $ Q $.
Passo 3
A vazão volumétrica $ Q $ está relacionada à velocidade $ V $ pela área da seção transversal do tubo:
Então, podemos resolver para $ V $:
Passo 4
Agora, substituímos $ V $ na fórmula da variação de pressão:
Vamos simplificar essa expressão.
Passo 5
Elevando $ \frac{4Q}{\pi D^2} $ ao quadrado:
Substituindo de volta:
Então:
Passo 6
Agora, vamos considerar as mudanças:
- Vazão volumétrica $ Q $ passa a ser $ \frac{Q}{2} $,
- Diâmetro $ D $ passa a ser $ 0,7D $.
Vamos substituir esses valores na expressão de $ \Delta P $:
Passo 7
Calculando os termos:
Substituindo:
Passo 8
Lembrando que a variação de pressão original é:
Podemos relacionar $ \Delta P_{novo} $ com $ \Delta P $:
Então:
Resposta
O novo valor da variação de pressão $ \Delta P $ é aproximadamente $ 1,49 $ vezes a variação original. Ou seja: