Por um tubo horizontal de diâmetro interno D e comprimento total L escoa um fluido de massa especifica rho em regime permanente. A vazão volumétrica é Q e a variação de pressão observada no escoamento é De. Admitindo que o escoamento é completamente rugoso (turbulento) em todas as situações, calcule o novo valor de variação de De em função de De para os seguintes casos:
A vazão volumétrica é metade da original e o diâmetro interno é 70 % do original, mantidos L e rho constantes.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um tubo horizontal com diâmetro interno $ D $, comprimento $ L $, e um fluido com massa específica $ \rho $ escoando de forma constante. A vazão volumétrica original é $ Q $ e a variação de pressão no tubo é $ \Delta P $. Queremos descobrir como a variação de pressão $ \Delta P $ muda quando a vazão é reduzida para metade ($ Q/2 D â 0,7D $). Vamos resolver isso passo a passo usando conceitos de escoamento turbulento em tubos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula que relaciona a variação de pressão $ \Delta P $ em um tubo com:
De
Aqui:
  • $ f $ é o fator de atrito,
  • $ L $ é o comprimento do tubo,
  • $ D $ é o diâmetro interno,
  • $ \rho $ é a massa específica do fluido,
  • $ V $ é a velocidade do fluido.
Como precisamos relacionar $ \Delta P $ com a vazão volumétrica $ Q $, vamos expressar a velocidade $ V $ em termos de $ Q $.

Passo 3

A vazão volumétrica $ Q $ está relacionada à velocidade $ V $ pela área da seção transversal do tubo:
Q
Então, podemos resolver para $ V $:
V

Passo 4

Agora, substituímos $ V $ na fórmula da variação de pressão:
V
Vamos simplificar essa expressão.

Passo 5

Elevando $ \frac{4Q}{\pi D^2} $ ao quadrado:
4Qpi D^2
Substituindo de volta:
(4Qpi D^2)^2 = 16Q^2pi^2 D^4
Então:
De

Passo 6

Agora, vamos considerar as mudanças:
  • Vazão volumétrica $ Q $ passa a ser $ \frac{Q}{2} $,
  • Diâmetro $ D $ passa a ser $ 0,7D $.
Vamos substituir esses valores na expressão de $ \Delta P $:
Q

Passo 7

Calculando os termos:
(Q2)^2 = Q^24
(0,7D)^5 = 0,16807 D^5
Substituindo:
De
De
De

Passo 8

Lembrando que a variação de pressão original é:
De
Podemos relacionar $ \Delta P_{novo} $ com $ \Delta P $:
De
Então:
De

Resposta

O novo valor da variação de pressão $ \Delta P $ é aproximadamente $ 1,49 $ vezes a variação original. Ou seja:
De

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