Por um tubo horizontal de diâmetro interno D e comprimento total L escoa um fluido de massa especifica rho em regime permanente. A vazão volumétrica é Q e a variação de pressão observada no escoamento é De. Admitindo que o escoamento é completamente rugoso (turbulento) em todas as situações, calcule o novo valor de variação de De em função de De para os seguintes casos:
O fluido é substituido por outro de massa especifica 80 % da original, mantidos D, L e Q constantes

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o escoamento de um fluido em um tubo horizontal. A gente tem um tubo com diâmetro interno $ D $ e comprimento $ L $, onde escoa um fluido com massa específica $ \rho $ de forma constante. Sabemos também a vazão volumétrica $ Q $ e a variação de pressão $ \Delta P $ durante o escoamento. A parada é que o escoamento é completamente turbulento em todas as situações.
A gente precisa descobrir como a variação de pressão $ \Delta P $ muda quando a massa específica do fluido é reduzida para 80% da original, mantendo $ D $, $ L $ e $ Q $ constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a vazão volumétrica $ Q $ está relacionada com a velocidade $ V $ do fluido e a área da seção transversal do tubo $ A $ pela fórmula:
Q
Como $ A = \frac{\pi D^2}{4} $, podemos escrever:
V
Como $ Q $ e $ D $ são constantes, a velocidade $ V $ também permanece constante mesmo que a massa específica $ \rho $ mude.

Passo 3

Agora, vamos usar a equação de Darcy-Weisbach para a perda de carga $ \Delta P $ em um escoamento turbulento:
De
Aqui, $ f $ é o fator de atrito, que em escoamento completamente rugoso depende apenas da rugosidade relativa do tubo e não da massa específica do fluido. Como estamos falando de escoamento completamente rugoso, podemos considerar $ f $ constante quando a rugosidade não muda.

Passo 4

Como $ L $, $ D $, $ V $ e $ f $ são constantes, a única variável que muda é $ \rho $. Portanto, a variação de pressão $ \Delta P $ é diretamente proporcional à massa específica $ \rho $:
L

Passo 5

Se a massa específica do fluido é reduzida para 80% da original, podemos expressar a nova massa específica $ \rho’ $ como:
rho'

Passo 6

Substituindo $ \rho’ $ na relação de $ \Delta P $:
rho'

Resposta

A nova variação de pressão $ \Delta P’ $ é $ 80% $ da original, ou seja:
De

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