Por um tubo horizontal de diâmetro interno D e comprimento total L escoa um fluido de massa especifica
em regime permanente. A vazão volumétrica é
e a variação de pressão observada no escoamento é
. Admitindo que o escoamento é completamente rugoso (turbulento) em todas as situações, calcule o novo valor de variação de
em função de
para os seguintes casos:
O comprimento total é duplicado, mantidos
e
constantes.
O comprimento total é duplicado, mantidos
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um tubo horizontal com diâmetro interno $ D $ e comprimento total $ L $, por onde está escoando um fluido com massa específica $ \rho $ de forma constante (regime permanente). A vazão volumétrica é $ Q $ e a variação de pressão no escoamento é $ \Delta P $. A questão quer saber como a variação de pressão $ \Delta P $ muda se duplicarmos o comprimento do tubo, mantendo $ D $, $ Q $ e $ \rho $ constantes. Vamos precisar usar conceitos de escoamento turbulento completamente rugoso e a relação entre pressão, comprimento do tubo e outros parâmetros.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Equação de Darcy-Weisbach, que relaciona a perda de carga (variação de pressão) em um tubo com o comprimento do tubo, diâmetro, velocidade do fluxo, e o fator de atrito $ f $:
Onde:
- $ \Delta P $ é a variação de pressão,
- $ f $ é o fator de atrito,
- $ L $ é o comprimento do tubo,
- $ D $ é o diâmetro interno do tubo,
- $ \rho $ é a massa específica do fluido,
- $ V $ é a velocidade média do fluido.
Passo 3
Como o escoamento é completamente rugoso (turbulento), o fator de atrito $ f $ depende principalmente da rugosidade relativa do tubo e não do número de Reynolds. Supondo que a rugosidade do tubo não muda quando o comprimento é duplicado, o fator $ f $ permanece constante.
Passo 4
Sabemos que a vazão volumétrica $ Q $ está relacionada com a velocidade $ V $ e o diâmetro $ D $ pela fórmula:
Como $ Q $ e $ D $ são mantidos constantes, a velocidade $ V $ também permanece constante quando o comprimento do tubo muda.
Passo 5
Agora, observando a equação de Darcy-Weisbach, se $ f $, $ D $, $ \rho $, e $ V $ permanecem constantes, a variação de pressão $ \Delta P $ é diretamente proporcional ao comprimento $ L $:
Isso significa que, se duplicarmos $ L $, a variação de pressão $ \Delta P $ também será duplicada.
Resposta
Quando o comprimento do tubo é duplicado, mantendo $ D $, $ Q $ e $ \rho $ constantes, a nova variação de pressão $ \Delta P_{novo} $ será o dobro da variação original. Ou seja: