Por um tubo horizontal de diâmetro interno D e comprimento total L escoa um fluido de massa especifica rho em regime permanente. A vazão volumétrica é Q e a variação de pressão observada no escoamento é De. Admitindo que o escoamento é completamente rugoso (turbulento) em todas as situações, calcule o novo valor de variação de De em função de De para os seguintes casos:
O comprimento total é duplicado, mantidos D, Q e rho constantes.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um tubo horizontal com diâmetro interno $ D $ e comprimento total $ L $, por onde está escoando um fluido com massa específica $ \rho $ de forma constante (regime permanente). A vazão volumétrica é $ Q $ e a variação de pressão no escoamento é $ \Delta P $. A questão quer saber como a variação de pressão $ \Delta P $ muda se duplicarmos o comprimento do tubo, mantendo $ D $, $ Q $ e $ \rho $ constantes. Vamos precisar usar conceitos de escoamento turbulento completamente rugoso e a relação entre pressão, comprimento do tubo e outros parâmetros.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Equação de Darcy-Weisbach, que relaciona a perda de carga (variação de pressão) em um tubo com o comprimento do tubo, diâmetro, velocidade do fluxo, e o fator de atrito $ f $:
f
Onde:
  • $ \Delta P $ é a variação de pressão,
  • $ f $ é o fator de atrito,
  • $ L $ é o comprimento do tubo,
  • $ D $ é o diâmetro interno do tubo,
  • $ \rho $ é a massa específica do fluido,
  • $ V $ é a velocidade média do fluido.

Passo 3

Como o escoamento é completamente rugoso (turbulento), o fator de atrito $ f $ depende principalmente da rugosidade relativa do tubo e não do número de Reynolds. Supondo que a rugosidade do tubo não muda quando o comprimento é duplicado, o fator $ f $ permanece constante.

Passo 4

Sabemos que a vazão volumétrica $ Q $ está relacionada com a velocidade $ V $ e o diâmetro $ D $ pela fórmula:
Q
Como $ Q $ e $ D $ são mantidos constantes, a velocidade $ V $ também permanece constante quando o comprimento do tubo muda.

Passo 5

Agora, observando a equação de Darcy-Weisbach, se $ f $, $ D $, $ \rho $, e $ V $ permanecem constantes, a variação de pressão $ \Delta P $ é diretamente proporcional ao comprimento $ L $:
f
Isso significa que, se duplicarmos $ L $, a variação de pressão $ \Delta P $ também será duplicada.

Resposta

Quando o comprimento do tubo é duplicado, mantendo $ D $, $ Q $ e $ \rho $ constantes, a nova variação de pressão $ \Delta P_{novo} $ será o dobro da variação original. Ou seja:
D

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