Um tubo metálico ( \mathrm{k}=43 \mathrm{~W} \cdot \mathrm{~m}^{-1} \cdot \mathrm{~K}^{-1} ) que conduz óleo aquecido tem raio externo r_{2}=30 \mathrm{~mm} e espessura de parede igual a 5 mm e foi isolado termicamente com silicato de cálcio ( \mathrm{k}=0,08 \mathrm{~W} \cdot \mathrm{~m}^{-1} \cdot \mathrm{~K}^{-1} ), com espessura a 25,4 \mathrm{~mm}. Considere que a superficie interna do tubo está a temperatura de 120^{\circ} \mathrm{C}, que a superficie externa do isolamento térmico está exposta a um ambiente a 30^{\circ} \mathrm{C} e que o coeficiente de transferência de calor por convecção entre o isolamento térmico e o meio ambiente é \mathrm{h}=20 \mathrm{~W} \cdot \mathrm{~m}^{-2} \cdot \mathrm{~K}-1. Supondo que a taxa de transferência de calor por radiação possa ser desprezada, pede-se para determinar a temperatura na superfície externa do isolante térmico e a taxa de transferência de calor por metro de tubo para o meio.

Passo 1

O enunciado descreve um tubo metálico de raio externo r_{2}=30 mm e espessura de parede 5 mm, isolado com silicato de cálcio de espessura 25,4 mm. A superfície interna do tubo está a T_{1}=120\\ ^\circ\mathrm{C} e a externa do isolamento vê o ar a T_{\infty}=30\\ ^\circ\mathrm{C} com coeficiente de convecção h=20\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}. Desprezando radiação, vamos usar condução radial e convecção para encontrar a temperatura da superfície externa do isolamento ( T_{3}) e a taxa de calor por metro de tubo ( Q').

Passo 2

Calculamos os raios interiores e exteriores para condução:
\,r_{1}=r_{2}-espessura do tubo =0{,}03-0{,}005=0{,}025 m,
\,r_{2}=0{,}03 m,
\,r_{3}=r_{2}+espessura do isolamento =0{,}03+0{,}0254=0{,}0554 m.

Passo 3

As resistências térmicas por metro de comprimento ( L=1 m) são:
condução no metal
R_{\mathrm{c,metal}}=\frac{\ln\bigl(r_{2}/r_{1}\bigr)}{2\pi\,k_{\mathrm{metal}}\,L},
condução no isolante
R_{\mathrm{c,iso}}=\frac{\ln\bigl(r_{3}/r_{2}\bigr)}{2\pi\,k_{\mathrm{iso}}\,L},
convecção na face externa
R_{\mathrm{conv}}=\frac{1}{h\,2\pi\,r_{3}\,L}.
A resistência total é
R_{\mathrm{tot}}=R_{\mathrm{c,metal}}+R_{\mathrm{c,iso}}+R_{\mathrm{conv}}.

Passo 4

Substituindo valores:
\ln(r_{2}/r_{1})=\ln(0{,}03/0{,}025)=0{,}1823,
\ln(r_{3}/r_{2})=\ln(0{,}0554/0{,}03)=0{,}6144.
Logo
R_{\mathrm{c,metal}}=\frac{0{,}1823}{2\pi\cdot 43\cdot1}=6{,}74\times10^{-4}\\ \mathrm{K/W},
R_{\mathrm{c,iso}}=\frac{0{,}6144}{2\pi\cdot0{,}08\cdot1}=1{,}222\\ \mathrm{K/W},
R_{\mathrm{conv}}=\frac{1}{20\cdot2\pi\cdot0{,}0554\cdot1}=0{,}1436\\ \mathrm{K/W},
R_{\mathrm{tot}}=0{,}000674+1{,}222+0{,}1436=1{,}3663\\ \mathrm{K/W}.

Passo 5

A taxa de calor por metro de tubo é
Q'=\frac{T_{1}-T_{\infty}}{R_{\mathrm{tot}}}=\frac{120-30}{1{,}3663}=65{,}87\\ \mathrm{W/m}.

Passo 6

A temperatura da superfície externa do isolamento é
T_{3}=T_{\infty}+Q'\,R_{\mathrm{conv}} =30+65{,}87\cdot0{,}1436=39{,}46\\ ^\circ\mathrm{C}.

Resposta

Temperatura externa do isolante: T_{3}\approx39{,}5\\ ^\circ\mathrm{C}.
Taxa de transferência de calor por metro de tubo: Q'\approx65{,}9\\ \mathrm{W/m}.

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