Um protótipo de automóvel é projetado para o clima frio de Denver, Colorado ( -10^{\circ} \mathrm{C}, 83 \mathrm{kPa} ). Sua força de arrasto será testada em um modelo em escala 1 / 7 dentro de um túnel de vento a 20^{\circ} \mathrm{C} e 1 atm . Se o modelo e o protótipo apresentarem similaridade dinâmica, qual velocidade do protótipo, em milhas por hora, é compatível? Comente o resultado.

Passo 1

O enunciado diz que o carro-protótipo opera em Denver a -10^\circ\mathrm C e 83,kPa e será testado em túnel de vento em escala 1/7 a 20^\circ\mathrm C e 1,atm.
Queremos similaridade dinâmica, isto é, igualar o número de Reynolds
\mathrm{Re}=\frac{\rho\,V\,L}{\mu}
do protótipo e do modelo.

Passo 2

Calcular as densidades nos dois casos usando a equação dos gases ideais \rho=p/(R\,T), com R=287,J/(kg·K):
- Protótipo (Denver):
T_p = -10^\circ\mathrm C = 263\\ \mathrm K,\quad p_p = 83{,}0\\ \mathrm{kPa}
\rho_p = \frac{83\,000}{287\cdot263}\approx1{,}10\\ \mathrm{kg/m^3}.
- Modelo (túnel):
T_m = 20^\circ\mathrm C = 293\\ \mathrm K,\quad p_m =101{,}3\\ \mathrm{kPa}
\rho_m = \frac{101\,300}{287\cdot293}\approx1{,}21\\ \mathrm{kg/m^3}.

Passo 3

Calcular as viscosidades via lei de Sutherland
\mu=\mu_0\Bigl(\frac{T}{T_0}\Bigr)^{3/2}\frac{T_0+S}{T+S},
com \mu_0=1{,}716\times10^{-5},Pa·s a T_0=273,K e S=110{,}4,K.
- Protótipo ( T_p=263 K):
\mu_p\approx1{,}67\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
- Modelo ( T_m=293 K):
\mu_m\approx1{,}77\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.

Passo 4

Igualando \mathrm{Re}_p=\mathrm{Re}_m:
\frac{\rho_p\,V_p\,L_p}{\mu_p} = \frac{\rho_m\,V_m\,L_m}{\mu_m},
com L_m/L_p=1/7. Daí
V_p = V_m\, \frac{\rho_m}{\rho_p}\, \frac{L_m}{L_p}\, \frac{\mu_p}{\mu_m} \approx V_m\,(1{,}096)\,\frac1{7}\,(0{,}944) \approx0{,}148\,V_m.
Isto significa que a velocidade do protótipo é cerca de 15 % da velocidade do modelo no túnel.

Passo 5

Para ver o que isso dá em milhas por hora, suponha um túnel capaz de V_m=100,m/s (≈224 mph). Então
V_p\approx0{,}148\times100\mathrm{\,m/s}=14{,}8\mathrm{\,m/s}\approx33{,}1\mathrm{\,mph}.
Para simular uma velocidade real de, digamos, 60 mph ( \approx26{,}8,m/s), o túnel teria de chegar a
V_m\approx\frac{V_p}{0{,}148}\approx\frac{26{,}8}{0{,}148}\approx181{,}0\mathrm{\,m/s}\approx404\mathrm{\,mph},
o que é impraticável.

Resposta

Para igualdade de Reynolds obtém-se
V_p\approx0{,}148\,V_m.
Por exemplo, se V_m=100,m/s ( ≈224,mph), então V_p≈33,mph. Comentar: para simular velocidades de estrada ( ≈60,mph) seria preciso um túnel de vento na faixa de 400,mph, o que torna a similaridade dinâmica total inviável em túneis convencionais.

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