Suponha que um tubo transportando um fluido quente possui uma temperatura de superfície
e raio
(referentes à superfície externa do tubo) deve ser isolado com um material de isolamento térmico de condutividade
de raio
. Demonstre matematicamente que, se o coeficiente de transferência de calor por convecção no lado externo do isolante é
, a temperatura do ambiente é
, a adição de isolante pode realmente aumentar a taxa de perda de calor se
e a perda máxima de calor ocorre quando
. Este raio é conhecido como raio crítico de isolamento. Discuta também as influências da condutividade térmica do isolante na perda de calor e, caso
, discuta a influência do isolante térmico neste sistema.
Passo 1
O problema envolve condução de calor radial em coordenadas cilíndricas, seguida de convecção na superfície externa do isolamento. Temos um tubo de raio externo
e temperatura de superfície
. Sobre ele há um revestimento isolante de condutividade térmica
que vai até o raio
. No contorno externo (
) ocorre convecção com coeficiente
e temperatura ambiente
. Nosso objetivo é:
- Escrever a taxa de calor
em função de . - Mostrar que
cresce com isolamento até e decresce depois, encontrando assim o raio crítico . - Discutir a influência de
e o caso .
Passo 2
Modelamos o circuito térmico em série:
- Resistência à condução no isolante (cilíndrica)
- Resistência à convecção na face externa
Logo a resistência total é
E a taxa de calor é
Passo 3
Para achar o ponto extremo de
em função de
, examinamos o denominador
Como
, maximizar
equivale a minimizar
. Calculamos
e igualamos a zero:
Passo 4
Verificamos o comportamento de
:
- Se
, então , isto é, diminui conforme cresce, logo aumenta ao adicionar isolante. - Para
, , cresce e cai, como num isolamento usual.
Portantoé o raio que maximiza a perda de calor.
Passo 5
Influência de
: quanto menor
(melhor isolante), maior é
e menor
para qualquer
. Já valores grandes de
(isolante ruim) aproximam-se do caso sem isolante.
Caso : o termo
fica negativo, gerando
, ou seja, o material atua como um “condutor extra” e aumenta a taxa de perda. Fisicamente um isolamento só faz sentido se
.
Caso
Resposta
O raio crítico do isolamento é
para o qual a perda de calor é máxima. Se
a adição de isolante aumenta
; para
ela diminui. Isolantes de menor
reduzem sempre
, e a situação
não é física para isolamento externo, pois resultaria em condução “negativa”.