Suponha que um tubo transportando um fluido quente possui uma temperatura de superfície T_{i} e raio r_{i} (referentes à superfície externa do tubo) deve ser isolado com um material de isolamento térmico de condutividade k de raio r_{0}. Demonstre matematicamente que, se o coeficiente de transferência de calor por convecção no lado externo do isolante é h, a temperatura do ambiente é T_{\infty}, a adição de isolante pode realmente aumentar a taxa de perda de calor se r_{0}<k / h e a perda máxima de calor ocorre quando r_{0}=k / h. Este raio é conhecido como raio crítico de isolamento. Discuta também as influências da condutividade térmica do isolante na perda de calor e, caso r_{0}<r_{i}, discuta a influência do isolante térmico neste sistema.

Passo 1

O problema envolve condução de calor radial em coordenadas cilíndricas, seguida de convecção na superfície externa do isolamento. Temos um tubo de raio externo \,r_{i}\, e temperatura de superfície \,T_{i}\,. Sobre ele há um revestimento isolante de condutividade térmica \,k\, que vai até o raio \,r_{0}\,. No contorno externo ( r=r_{0}) ocorre convecção com coeficiente \,h e temperatura ambiente \,T_{\infty}. Nosso objetivo é:
  1. Escrever a taxa de calor \dot Q em função de \,r_{0}.
  2. Mostrar que \dot Q cresce com isolamento até r_{0}=k/h e decresce depois, encontrando assim o raio crítico r_{0}=k/h.
  3. Discutir a influência de \,k e o caso r_{0}<r_{i}.

Passo 2

Modelamos o circuito térmico em série:
  • Resistência à condução no isolante (cilíndrica)
R_{\text{cond}} \;=\;\frac{1}{2\pi L\,k}\,\ln\!\biggl(\frac{r_{0}}{r_{i}}\biggr).
  • Resistência à convecção na face externa
R_{\text{conv}} \;=\;\frac{1}{2\pi L\,r_{0}\,h}.
Logo a resistência total é
R_{\text{tot}} \;=\; R_{\text{cond}} + R_{\text{conv}} \;=\;\frac{1}{2\pi L}\Bigl[\frac{1}{k}\ln\!\bigl(\tfrac{r_{0}}{r_{i}}\bigr)+\frac{1}{h\,r_{0}}\Bigr].
E a taxa de calor é
\dot Q \;=\;\frac{T_{i}-T_{\infty}}{R_{\text{tot}}} \;=\;2\pi L\,(T_{i}-T_{\infty})\;\Bigl[\frac{1}{k}\ln\!\bigl(\tfrac{r_{0}}{r_{i}}\bigr)+\frac{1}{h\,r_{0}}\Bigr]^{-1}.

Passo 3

Para achar o ponto extremo de \dot Q em função de r_{0}, examinamos o denominador
f(r_{0}) =\frac{1}{k}\ln\!\bigl(\tfrac{r_{0}}{r_{i}}\bigr)+\frac{1}{h\,r_{0}}.
Como \dot Q\propto 1/f(r_{0}), maximizar \dot Q equivale a minimizar f(r_{0}). Calculamos
\frac{df}{dr_{0}} =\frac{1}{k}\,\frac{1}{r_{0}} -\frac{1}{h\,r_{0}^{2}}
e igualamos a zero:
\frac{1}{k\,r_{0}} =\frac{1}{h\,r_{0}^{2}} \quad\Longrightarrow\quad r_{0}=\frac{k}{h}.

Passo 4

Verificamos o comportamento de \dot Q:
  • Se r_{0}<k/h, então \frac{df}{dr_{0}}<0, isto é, f diminui conforme r_{0} cresce, logo \dot Q aumenta ao adicionar isolante.
  • Para r_{0}>k/h, \frac{df}{dr_{0}}>0, f cresce e \dot Q cai, como num isolamento usual.
    Portanto r_{\text{crítico}}=k/hí é o raio que maximiza a perda de calor.

Passo 5

Influência de k: quanto menor \,k (melhor isolante), maior é R_{\text{cond}} e menor \dot Q para qualquer r_{0}>r_{i}. Já valores grandes de k (isolante ruim) aproximam-se do caso sem isolante.
Caso r_{0}<r_{i}: o termo \ln(r_{0}/r_{i}) fica negativo, gerando R_{\text{cond}}<0, ou seja, o material atua como um “condutor extra” e aumenta a taxa de perda. Fisicamente um isolamento só faz sentido se r_{0}>r_{i}.

Resposta

O raio crítico do isolamento é
r_{0} = \frac{k}{h},
para o qual a perda de calor é máxima. Se r_{0}<k/h a adição de isolante aumenta \dot Q; para r_{0}>k/h ela diminui. Isolantes de menor k reduzem sempre \dot Q, e a situação r_{0}<r_{i} não é física para isolamento externo, pois resultaria em condução “negativa”.

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