Um tubo de Pitot é montado na seção de ensaios de um túnel de vento subsônico de alta velocidade. As condições do escoamento na seção de ensaios são: 1 \mathrm{~atm}, 270 \mathrm{~K} e 250 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Qual é a pressão medida pelo tubo de Pitot?

Passo 1

O enunciado dá as condições do escoamento na seção de ensaios e pede a pressão que o tubo de Pitot vai medir. Dados fornecidos:
p = 1\\ \mathrm{atm},\qquad T = 270\\ \mathrm{K},\qquad V = 250\\ \mathrm{m/s}.
A pergunta é: qual é a pressão medida pelo tubo de Pitot (ou seja, qual a pressão de estagnação total p_0 que o Pitot lê)?

Passo 2

O que o Pitot mede e que fórmula usar — explicação didática:
O tubo de Pitot, quando bem posicionado em um escoamento sem choques na entrada do tubo, converte a energia cinética do escoamento em pressão estática adicional, medindo a pressão de estagnação (também chamada de pressão total) p_0. Para um gás ideal submetido a uma desaceleração isentrópica (adiabática e reversível) até velocidade zero, vale a relação isentrópica entre pressão estática p e pressão de estagnação p_0:
p_0 = p\left(1 + \frac{\gamma-1}{2}M^2\right)^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}.
Aqui:
  • \gamma é a razão de capacidades caloríficas do ar (adiabático), para o ar \gamma = 1{,}4;
  • M é o número de Mach local (adimensional), M = V/a;
  • a é a velocidade do som local, dada por a = \sqrt{\gamma R T};
  • R é a constante dos gases para o ar, R = 287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
Essa fórmula vem de combinar a conservação da energia (aumenta a temperatura de estagnação) com a relação isentrópica p/p_0 = (T/T_0)^{\gamma/(\gamma-1)}. Vou aplicar essas fórmulas passo a passo.

Passo 3

Calcular a velocidade do som a e o número de Mach M.
Velocidade do som:
a = \sqrt{\gamma R T} = \sqrt{1{,}4\cdot 287\cdot 270}.
Faço as multiplicações internas:
287\cdot 270 = 77490,
1{,}4\cdot 77490 = 108486.
Agora a raiz:
a = \sqrt{108486}\approx 329{,}4\\ \mathrm{m/s}.
Número de Mach:
M = \frac{V}{a} = \frac{250}{329{,}4}\approx 0{,}759.
Também útil o quadrado de M:
M^2 \approx 0{,}759^2 \approx 0{,}576.

Passo 4

Calcular o fator dentro dos parênteses da relação isentrópica:
1 + \frac{\gamma-1}{2}M^2 = 1 + \frac{1{,}4-1}{2}\,M^2 = 1 + 0{,}2\cdot M^2.
Substituindo M^2\approx 0{,}576:
1 + 0{,}2\cdot 0{,}576 = 1 + 0{,}1152 = 1{,}1152.

Passo 5

Elevar esse fator ao expoente \dfrac{\gamma}{\gamma-1}. Primeiro calcule o expoente:
\frac{\gamma}{\gamma-1} = \frac{1{,}4}{0{,}4} = 3{,}5.
Agora:
\left(1{,}1152\right)^{3{,}5}.
Para calcular numericamente, uso logaritmo/exponencial:
\ln(1{,}1152)\approx 0{,}1090,\qquad 3{,}5\cdot 0{,}1090 = 0{,}3815,
\left(1{,}1152\right)^{3{,}5} = e^{0{,}3815}\approx 1{,}464.

Passo 6

Finalmente, obtenho a pressão de estagnação p_0 multiplicando o fator por p. Primeiro converto a pressão estática dada para pascals:
p = 1\\ \mathrm{atm} = 101325\\ \mathrm{Pa}.
Então
p_0 = p\cdot 1{,}464 \approx 101325\cdot 1{,}464 \approx 148434\\ \mathrm{Pa}.
Em unidades mais usuais:
p_0 \approx 148{,}4\\ \mathrm{kPa}.
Opcionalmente, a diferença dinâmica (pressão dinâmica total) é
p_0-p \approx 148434 - 101325 \approx 47109\\ \mathrm{Pa}\approx 47{,}1\\ \mathrm{kPa},
que é a “pressão dinâmica” convertida em incremento acima da pressão estática.

Resposta

\;p_{0}\approx 148{,}4\\ \mathrm{kPa}

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