Um modelo de asa retangular cujo aerofólio é um NACA 2412, está sendo ensaiado em um túnel de vento subsônico de baixa velocidade. O modelo tem corda de 1,3 \mathrm{~m} e envergadura de 1 m (similar a largura da seção de ensaios do túnel de vento). A velocidade do escoamento na câmara de ensaio é 50 \mathrm{~m} / \mathrm{s} nas condições ISA ao nível do mar. O ângulo de ataque do modelo é 4^{\circ}. Calcule a sustentação, o arrasto, e o momento em arfagem no ponto de quarta corda. Determine também os seus respectivos coeficientes aerodinâmicos.

Passo 1

O enunciado dá um modelo de asa retangular com aerofólio NACA 2412 e pede a sustentação, o arrasto, o momento em arfagem no ponto de quarta corda e os coeficientes aerodinâmicos correspondentes. Dados fornecidos (vou escrever tudo em notação matemática):
\begin{aligned} &\text{corda: } c=1{,}3\\ \mathrm{m},\\\ &\text{envergadura: } b=1{,}0\\ \mathrm{m},\\\ &\text{velocidade: } V=50\\ \mathrm{m/s},\\\ &\text{condições ISA ao nível do mar: } \rho=1{,}225\\ \mathrm{kg/m^3},\\\ &\text{ângulo de ataque: } \alpha=4^\circ,\\\ &\text{aerofólio: NACA 2412 (dados típicos de aerofólio serão usados quando necessários).} \end{aligned}çõíâóíóãá
O que é pedido:
  • Calcular a sustentação L.
  • Calcular o arrasto D.
  • Calcular o momento em arfagem no ponto de quarta corda M_{c/4}.
  • Determinar os coeficientes aerodinâmicos C_L, C_D e C_{m,c/4}.

Passo 2

Primeiras quantidades geométricas e de escoamento que usamos em quase todas as fórmulas:
  • Área da asa:
S = c\cdot b = 1{,}3\cdot1{,}0 = 1{,}3\\ \mathrm{m^2}.
  • Razão de aspecto (aspect ratio):
\mathrm{AR}=\frac{b}{c}=\frac{1{,}0}{1{,}3}=0{,}769\\ (\text{adimensional}).
  • Pressão dinâmica (q):
q=\tfrac{1}{2}\rho V^2=\tfrac{1}{2}\cdot1{,}225\cdot50^2=1{,}531{,}25\\ \mathrm{Pa}=1{,}53125\times10^{3}\\ \mathrm{Pa}.
  • Número de Reynolds aproximado (importante ao estimar arrasto de perfil):
\mathrm{Re}=\frac{\rho V c}{\mu}\quad\text{com}\\ \mu\approx1{,}81\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s},
\mathrm{Re}\approx\frac{1{,}225\cdot50\cdot1{,}3}{1{,}81\times10^{-5}}\approx4{,}40\times10^{6}.
(Guardei esses valores para justificar escolhas de coeficientes de arrasto e momento.)

Passo 3

Escolha do método e suposições (muito importante explicar):
  • Para obter C_L uso a teoria de aerofólio 2D + correção 3D de asa finita (fórmula de lifting-line linearizada). Essa é a forma padrão em provas quando não se dá um polador completo.
  • A inclinação de sustentação 2D aproximada para aerofólios finos é a_0\approx2\pi\\ \mathrm{rad^{-1}}. Vou usar a_0=2\pi.
  • O NACA 2412 é camberado; isso gera um valor de sustentação em \alpha=0. Dados típicos de polares experimentais para NACA 2412 (na faixa de Reynolds ~4×10^6) dão aproximadamente: C_{L,0}\equiv C_L(\alpha=0)\approx0{,}23.A partir disso calculei o ângulo de ataque de sustentação nula (zero-lift): \alpha_{L_0} = -\frac{C_{L,0}}{a_0}.Vou mostrar o cálculo no passo seguinte.
  • Para passar de 2D para 3D uso a fórmula (lifting-line linearizada) com fator de eficiência induzida e: a=\frac{a_0}{1+\dfrac{a_0}{\pi\\ \mathrm{AR}\\ e}}.Como a asa é retangular e com AR bem baixo, há perda de eficiência. Vou assumir um valor físico e conservador e=0{,}8 (valor típico para asa completa rectangular; se usássemos e=1 o resultado seria um pouco diferente; explico impacto mais adiante).
  • Para o arrasto vou decompor em arrasto de perfil (parasitário) C_{D,0} e arrasto induzido C_{D,i}: C_D = C_{D,0} + C_{D,i},\qquad C_{D,i}=\frac{C_L^2}{\pi\\ \mathrm{AR}\\ e}.Para C_{D,0} (depende de Re e do aerofólio) uso um valor típico razoável para uma asa limpa NACA 2412 a \mathrm{Re}\sim4\times10^6: C_{D,0}\approx0{,}008. Esse valor é uma estimativa usada rotineiramente em problemas de prova; se quiser eu recalculo com outro valor.
  • Para o momento em arfagem tomo o coeficiente de momento em relação ao quarto de corda ( C_{m,c/4}) típico do NACA 2412. Polares experimentais dão valores negativos (tendência a pitch-down) na faixa de -0{,}02 a -0{,}04. Vou escolher um valor central e conservador: C_{m,c/4}\approx-0{,}03.
Todas essas escolhas (valores de C_{L,0},C_{D,0},C_{m,c/4},e) são fundamentadas em tabelas-padrão de NACA 2412 para \mathrm{Re} da ordem de 10^6. Se você quiser outro conjunto de hipóteses eu refaço os cálculos.

Passo 4

Calcular a_0 (2D), \alpha_{L_0} e converter ângulos para radianos (atenção às unidades!):
  • a_0=2\pi\\ \mathrm{rad^{-1}}=6{,}2831853\\ \mathrm{rad^{-1}}.
  • Usando C_{L,0}=0{,}23:
\alpha_{L_0}=-\frac{C_{L,0}}{a_0}=-\frac{0{,}23}{6{,}2831853}=-0{,}03661\\ \mathrm{rad}\approx-2{,}10^\circ.
  • Converter o ângulo de ataque dado:
\alpha=4^\circ=4\cdot\frac{\pi}{180}=0{,}0698132\\ \mathrm{rad}.
  • Diferença de ângulo útil:
\Delta\alpha=\alpha-\alpha_{L_0}=0{,}0698132-(-0{,}03661)=0{,}1064232\\ \mathrm{rad}.

Passo 5

Calcular a inclinação de sustentação efetiva da asa finita a (usar e=0{,}8):
a=\frac{a_0}{1+\dfrac{a_0}{\pi\\ \mathrm{AR}\\ e}}.
Substituindo números:
\pi\\ \mathrm{AR}\\ e=\pi\cdot0{,}769\cdot0{,}8\approx1{,}93375,
\frac{a_0}{\pi\\ \mathrm{AR}\\ e}=\frac{6{,}2831853}{1{,}93375}\approx3{,}25010,
a=\frac{6{,}2831853}{1+3{,}25010}=\frac{6{,}2831853}{4{,}25010}\approx1{,}47888\\ \mathrm{rad^{-1}}.
Interpretando: a inclinação de sustentação da asa (3D) é muito menor que a 2D por causa do pequeno AR e do efeito induzido.

Passo 6

Calcular o coeficiente de sustentação da asa inteira C_L usando a relação linear:
C_L = a\,\Delta\alpha = 1{,}47888\cdot0{,}1064232 \approx 0{,}15744.
Explicação: multiplicamos a inclinação por \Delta\alpha (em radianos). O resultado é adimensional.

Passo 7

Calcular a sustentação L:
L = q\,S\,C_L.
Substituindo:
L = 1{,}53125\times10^{3}\cdot1{,}3\cdot0{,}15744 \approx 313{,}1\\ \mathrm{N}.
Interpretação física: a asa produz cerca de 313\\ \mathrm{N} de sustentação às condições dadas e ao ângulo de 4^\circ com as hipóteses adotadas.

Passo 8

Calcular o arrasto: primeiro o termo induzido C_{D,i}, depois o total C_D e finalmente D.
  • Arrasto induzido:
C_{D,i}=\frac{C_L^2}{\pi\\ \mathrm{AR}\\ e}=\frac{0{,}15744^2}{\pi\cdot0{,}769\cdot0{,}8}.
Cálculo numérico:
C_{D,i}\approx\frac{0{,}02478}{1{,}93375}\approx0{,}01282.
  • Escolhi C_{D,0}=0{,}008 (arrasto parasitário típico para NACA 2412 limpo em \mathrm{Re}\sim4\times10^6). Assim,
C_D = C_{D,0}+C_{D,i}=0{,}008+0{,}01282=0{,}02082.
  • Arrasto total:
D = q\,S\,C_D = 1{,}53125\times10^{3}\cdot1{,}3\cdot0{,}02082 \approx 41{,}47\\ \mathrm{N}.
Comentário: o arrasto induzido é comparável ao arrasto de perfil — típico em asas de baixo AR.

Passo 9

Calcular o momento em arfagem no ponto de quarta corda M_{c/4}:
  • Tomei C_{m,c/4}=-0{,}03 (valor típico experimental para NACA 2412 em condições semelhantes; negativo indica tendência a arfagem para baixo).
  • Definição:
C_{m,c/4}=\frac{M_{c/4}}{q\,S\,c}\quad\Rightarrow\quad M_{c/4}=C_{m,c/4}\,q\,S\,c.
Substituindo:
M_{c/4}=-0{,}03\cdot1{,}53125\times10^{3}\cdot1{,}3\cdot1{,}3.
Calculei q\,S\,c = 1{,}53125\times10^{3}\cdot1{,}3\cdot1{,}3 \approx 2{,}5878\times10^{3}.
Logo
M_{c/4}\approx -0{,}03\cdot2{,}5878125\times10^{3}\approx -77{,}63\\ \mathrm{N\cdot m}.
Interpretação: momento negativo (pitch-down) da ordem de 78\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 10

Resumo dos coeficientes e grandezas finais (com as hipóteses já explicitadas: a_0=2\pi,\\ C_{L,0}=0{,}23,\\ e=0{,}8,\\ C_{D,0}=0{,}008,\\ C_{m,c/4}=-0{,}03). Se você quiser, eu refaço tudo com outro e, outro C_{D,0} ou com e=1 para ver a sensibilidade — eu recomendo checar e e C_{D,0} se for relevante para sua prova ou trabalho.

Resposta

L=313{,}1\\ \mathrm{N}
D=41{,}47\\ \mathrm{N}
M_{c/4}=-77{,}63\\ \mathrm{N\cdot m}
C_L=0{,}15744
C_D=0{,}02082
C_{m,c/4}=-0{,}03

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