O avião Fairchild Republic A-10 possui uma asa praticamente retangular cuja envergadura é 17,5 \mathrm{~m} e a corda 3 m . A aeronave está voando nas condições ISA ao nível do mar a uma velocidade de 200 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Considerando o escoamento laminar calcule a altura da camada limite no bordo de fuga e o arrasto de atrito total da asa (considere a asa como uma placa plana retangular). Considerando agora o escoamento turbulento, recalcule a altura da camada limite no bordo de fuga e o arrasto de atrito total da asa. Se o número de Reynolds critico de transição for 10^{6}, então recalcule agora o arrasto de atrito da asa.

Passo 1

O enunciado pede:
  • Calcular a altura da camada limite no bordo de fuga (ou seja, na corda x=L) da asa, tratando a asa como uma placa plana retangular, nas condições ISA ao nível do mar e velocidade U=200\\ \mathrm{m/s}, primeiro assumindo escoamento laminar e depois assumindo escoamento totalmente turbulento.
  • Calcular o arrasto de atrito total da asa (considerando a asa como uma placa plana retangular) nos dois casos acima.
  • Finalmente, supondo que o número de Reynolds crítico de transição seja \,10^{6}, recalcular o arrasto de atrito da asa (caso misto: laminar até x_{tr} e turbulento depois).
Dados fornecidos (vou listar todos claramente):
  • Envergadura (span): \,b = 17{,}5\\ \mathrm{m}.
  • Corda (comprimento no sentido do escoamento): \,L = 3\\ \mathrm{m}.
  • Velocidade: \,U = 200\\ \mathrm{m/s}.
  • Condições ISA ao nível do mar: densidade do ar \,\rho = 1{,}225\\ \mathrm{kg/m^{3}} e viscosidade dinâmica aproximada \,\mu \approx 1{,}789\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s}. Usarei a viscosidade cinemática \nu = \mu/\rho \approx 1{,}460\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}/s}.
  • Área planform (plano de referência): \,S = b\cdot L = 17{,}5\cdot 3 = 52{,}5\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Á área molhada (wetted area), assumindo duas faces da asa (superfície superior e inferior) e placa fina: \,S_{w} = 2\cdot S = 105\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Fórmulas padrão que usarei (vou explicar e justificar no passo seguinte):
    • Número de Reynolds baseado em L: \,Re_{L} = \dfrac{U L}{\nu}.
    • Espessura da camada limite laminar (aprox. Blasius, espessura 99\%): \,\delta_{lam}(x) \approx 5\,\dfrac{x}{\sqrt{Re_{x}}}.
    • Espessura da camada limite turbulenta (região desenvolvida): \,\delta_{turb}(x) \approx 0{,}37\,\dfrac{x}{Re_{x}^{1/5}}.
    • Coeficiente de atrito médio (sobre comprimento L) para placa plana laminar: \,C_{f,\mathrm{lam,avg}} = \dfrac{1{,}328}{\sqrt{Re_{L}}}.
    • Coeficiente de atrito médio (sobre comprimento L) para placa plana totalmente turbulenta (suave): \,C_{f,\mathrm{turb,avg}} = \dfrac{0{,}074}{Re_{L}^{1/5}}.
    • Para tratar transição em x_{tr} (com Re_{x_{tr}}=10^{6}), vou integrar o coeficiente local C_{f}(x) em cada zona e obter o arrasto total por integração; explico a integral no passo apropriado.

Passo 2

Cálculo dos parâmetros base e do número de Reynolds (passo obrigatório antes de aplicar fórmulas).
  • Cálculo da viscosidade cinemática: \nu = \dfrac{\mu}{\rho} \approx \dfrac{1{,}789\times10^{-5}}{1{,}225} \approx 1{,}460\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}/s}.
  • Número de Reynolds baseado em L=3\\ \mathrm{m}: Re_{L} = \dfrac{U L}{\nu} = \dfrac{200\cdot 3}{1{,}460\times10^{-5}} \approx 4{,}11\times10^{7}.
  • Pressão dinâmica (útil para calcular arrasto): q = \dfrac{1}{2}\rho U^{2} = \dfrac{1}{2}\cdot 1{,}225\cdot (200)^{2} = 24{,}500\\ \mathrm{Pa}.
Explicação curta: Re_{L} indica se a camada é laminar ou turbulenta sobre o comprimento L. A pressão dinâmica q é a referência para converter coeficiente de atrito (adimensional) em força (Newton).

Passo 3

Camada limite laminar — fórmula e significado:
  • Para escoamento laminar sobre placa plana (solução de Blasius), a espessura típica (definida como \delta_{99}, a distância da superfície onde a velocidade atinge 99% da livre corrente) tem forma \delta_{lam}(x) \approx 5\,\dfrac{x}{\sqrt{Re_{x}}},onde Re_{x} = \dfrac{U x}{\nu}. Interpretação das variáveis: x é a distância desde a borda de ataque ao ponto onde se mede a camada limite; U é a velocidade livre; \nu é a viscosidade cinemática.
  • O coeficiente local de atrito em regime laminar é C_{f,\mathrm{lam}}(x) = \dfrac{0{,}664}{\sqrt{Re_{x}}}.O coeficiente médio sobre o comprimento L (que permite calcular arrasto total com área molhada) é C_{f,\mathrm{lam,avg}} = \dfrac{1{,}328}{\sqrt{Re_{L}}}.
Justificação: a constante 0{,}664 vem da solução de Blasius para o atrito local; ao integrar de 0 a L obtém-se o fator 1{,}328 para a média.

Passo 4

Calcule numericamente a espessura da camada limite laminar no bordo de fuga ( x=L):
  • Primeiro \sqrt{Re_{L}} \approx \sqrt{4{,}11\times10^{7}} \approx 6{,}411.
  • Aplicando a fórmula: \delta_{lam}(L) \approx 5\,\dfrac{L}{\sqrt{Re_{L}}} = 5\,\dfrac{3}{6{,}411} \approx 0{,}00234\\ \mathrm{m}.
Interpretação: isso dá aproximadamente 2{,}34\\ \mathrm{mm} de espessura da camada limite na aresta de fuga se todo o escoamento permanecesse laminar.

Passo 5

Calcule o arrasto de atrito total no caso laminar:
  • Coeficiente médio laminar: C_{f,\mathrm{lam,avg}} = \dfrac{1{,}328}{\sqrt{Re_{L}}} = \dfrac{1{,}328}{6{,}411} \approx 0{,}0002072.
  • Arrasto por atrito usando área molhada ( S_{w}=105\\ \mathrm{m^{2}}): D_{\mathrm{lam}} = q\; S_{w}\; C_{f,\mathrm{lam,avg}} = 24{,}500\cdot 105\cdot 0{,}0002072 \approx 533\\ \mathrm{N}.
Explicação prática: multiplicamos a pressão dinâmica q pela área molhada e pelo coeficiente médio de atrito para obter a força de atrito total (arrasto).

Passo 6

Camada limite turbulenta — fórmula e significado:
  • Para escoamento turbulento totalmente desenvolvido sobre placa lisa, uma estimativa empírica para a espessura (99%) é \delta_{turb}(x) \approx 0{,}37\,\dfrac{x}{Re_{x}^{1/5}}.
  • O coeficiente médio de atrito para uma placa totalmente turbulenta (fórmula empírica comum) é C_{f,\mathrm{turb,avg}} = \dfrac{0{,}074}{Re_{L}^{1/5}}.
Comentário didático: o expoente 1/5 aparece por leis empíricas do escoamento turbulento sobre superfícies lisas; essas expressões são aproximadas mas bastante usadas em problemas de propulsão/ aerodinâmica básica.

Passo 7

Calcule numericamente a espessura da camada limite turbulenta no bordo de fuga ( x=L):
  • Primeiro Re_{L}^{1/5} \approx (4{,}11\times10^{7})^{0{,}2} \approx 33{,}34.
  • Aplicando a fórmula: \delta_{turb}(L) \approx 0{,}37\,\dfrac{L}{Re_{L}^{1/5}} = 0{,}37\,\dfrac{3}{33{,}34} \approx 0{,}0333\\ \mathrm{m}.
Interpretação: isso dá aproximadamente 33{,}3\\ \mathrm{mm} de espessura na aresta de fuga se o escoamento fosse totalmente turbulento.

Passo 8

Calcule o arrasto de atrito total no caso totalmente turbulento:
  • Coeficiente médio turbulento: C_{f,\mathrm{turb,avg}} = \dfrac{0{,}074}{Re_{L}^{1/5}} = \dfrac{0{,}074}{33{,}34} \approx 0{,}00222.
  • Arrasto por atrito: D_{\mathrm{turb}} = q\; S_{w}\; C_{f,\mathrm{turb,avg}} = 24{,}500\cdot 105\cdot 0{,}00222 \approx 5{,}71\times10^{3}\\ \mathrm{N}.
Comentário prático: o arrasto turbulento é muito maior do que o laminar porque o coeficiente de atrito local em turbulência é significativamente maior.

Passo 9

Caso com transição em Re_{cr}=10^{6} — método:
  • Se a transição ocorre quando Re_{x}=10^{6}, então a posição de transição x_{tr} satisfaz x_{tr} = \dfrac{Re_{cr}\,\nu}{U}.Com Re_{cr}=10^{6}, calculo x_{tr} e então computarei o arrasto total somando a contribuição laminar de 0 a x_{tr} e a contribuição turbulenta de x_{tr} a L.
  • Para integrar corretamente, uso as expressões locais:
    • Laminar local: C_{f,\mathrm{lam}}(x)=0{,}664\,Re_{x}^{-1/2}.
    • Turbulento local (constante escolhida consistente com a média usada): C_{f,\mathrm{turb}}(x)=0{,}0592\,Re_{x}^{-1/5}. (Observação: esse 0{,}0592 é a constante local tal que a média sobre L produz 0{,}074/Re_{L}^{1/5}; já expliquei essa ligação nas notas.)
  • A força de atrito por unidade de envergadura (por metro de semiespan) é F' = q\int_{0}^{L} C_{f}(x)\,dx,e o arrasto total da asa (duas faces) é D = 2\, b \, q \int_{0}^{L} C_{f}(x)\,dx.
Vou calcular as integrais separadamente.

Passo 10

Cálculos numéricos para o caso com transição em Re_{cr}=10^{6}:
  • Posição de transição: x_{tr} = \dfrac{Re_{cr}\,\nu}{U} = \dfrac{10^{6}\cdot 1{,}460\times10^{-5}}{200} \approx 0{,}073\\ \mathrm{m}.(ou seja, transição muito próxima da borda de ataque: 7{,}3\\ \mathrm{cm}.)
  • Integral da parte laminar ( 0 a x_{tr}): \int_{0}^{x_{tr}} C_{f,\mathrm{lam}}(x)\, dx = \int_{0}^{x_{tr}} 0{,}664\,\dfrac{1}{\sqrt{Re_{x}}}\,dx = 1{,}328\sqrt{\dfrac{\nu}{U}}\,x_{tr}^{1/2}.Substituindo números obtemos aproximadamente 0{,}0003068 (unidade: metro, porque integramos um coeficiente adimensional em dx).
  • Integral da parte turbulenta ( x_{tr} a L): \int_{x_{tr}}^{L} C_{f,\mathrm{turb}}(x)\,dx = 0{,}0592\,(U/\nu)^{-1/5}\,\dfrac{5}{4}\left(L^{4/5}-x_{tr}^{4/5}\right).Reescrevendo convenientemente e avaliando numericamente dá aproximadamente 0{,}006315.
  • Soma das integrais: \int_{0}^{L} C_{f}(x)\,dx \approx 0{,}0003068 + 0{,}006315 = 0{,}006622.
  • Finalmente o arrasto total: D_{\mathrm{mix}} = 2\,b\,q\int_{0}^{L} C_{f}(x)\,dx = 2\cdot 17{,}5\cdot 24{,}500 \cdot 0{,}006622 \approx 5{,}679\\ \times 10^{3}\\ \mathrm{N}.
Observação: o resultado fica ligeiramente menor que o caso totalmente turbulento porque uma pequena faixa inicial permanece laminar (mesmo que curta), reduzindo um pouco o atrito total.

Resposta

Laminar: \delta_{lam}(L)=0,00234\\ \mathrm{m},\; D_{\mathrm{lam}}=533\\ \mathrm{N}
Turbulento: \delta_{turb}(L)=0,0333\\ \mathrm{m},\; D_{\mathrm{turb}}=5,71\times10^{3}\\ \mathrm{N}
Transição ( Re_{cr}=10^{6}): D_{\mathrm{mix}}=5,68\times10^{3}\\ \mathrm{N}

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