Em um tubo de um trocador de calor de seção circular de raio
, têm um fluido escoando a uma temperatura
. Quando o fluido entra na região aquecida do trocador, a parede do mesmo se encontra a uma temperatura
para
. Considerando que o fluido tem propriedades físicas constantes, que o regime é permanente e que a difusão radial e a convecção axial são os principais mecanismos presentes no transporte de calor, determine a equação diferencial parcial para o sistema descrito.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a gente tem um fluido escoando num tubo circular (raio
) com temperatura inicial
e, a partir de
, a parede do tubo fica a uma temperatura fixa
. Queremos a equação diferencial parcial que descreve esse transporte de calor. O conteúdo é: balanço de energia em escoamento (equação de transporte de calor), em coordenadas cilíndricas, modo permanente, propriedades constantes, só levando em conta convecção axial e difusão radial.
Passo 2
Vamos começar lembrando da equação geral de energia para um fluido incompressível com propriedades constantes, em regime permanente (isto é, sem termo de variação temporal):
Aqui
é densidade,
calor específico,
condutividade térmica,
o campo de velocidades, e
a temperatura. O lado esquerdo é a convecção (transporte pelo movimento do fluido) e o direito é a difusão (condução de calor).
Passo 3
Em nosso caso:
- O escoamento é unidirecional ao longo de
, com , , (perfil que pode variar só em ). - Desprezamos difusão axial (
) e convecção radial ( ). - Passamos para coordenadas cilíndricas
:
Passo 4
Substituindo na equação de energia e dividindo por
, a convecção axial em
equilibrada com a difusão radial dá:
Definindo o coeficiente de difusividade térmica
, ficamos com a forma mais “limpa”.
Resposta
A equação diferencial parcial que descreve o transporte de calor é:
com condições de contorno típicas:
- no centro do tubo,
, - na parede,
,T(r=R,z)=Tp - na entrada,
.T(r,z=0)=T0