Em um tubo de um trocador de calor de seção circular de raio R, têm um fluido escoando a uma temperatura T0. Quando o fluido entra na região aquecida do trocador, a parede do mesmo se encontra a uma temperatura Tp>T0 para z>0. Considerando que o fluido tem propriedades físicas constantes, que o regime é permanente e que a difusão radial e a convecção axial são os principais mecanismos presentes no transporte de calor, determine a equação diferencial parcial para o sistema descrito.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem um fluido escoando num tubo circular (raio R) com temperatura inicial T0 e, a partir de z>0, a parede do tubo fica a uma temperatura fixa Tp>T0. Queremos a equação diferencial parcial que descreve esse transporte de calor. O conteúdo é: balanço de energia em escoamento (equação de transporte de calor), em coordenadas cilíndricas, modo permanente, propriedades constantes, só levando em conta convecção axial e difusão radial.

Passo 2

Vamos começar lembrando da equação geral de energia para um fluido incompressível com propriedades constantes, em regime permanente (isto é, sem termo de variação temporal):
rho cp,(vcdotnabla T) ;=; k,nabla^2 T
Aqui rho é densidade, cp calor específico, k condutividade térmica, v o campo de velocidades, e T(x,y,z) a temperatura. O lado esquerdo é a convecção (transporte pelo movimento do fluido) e o direito é a difusão (condução de calor).

Passo 3

Em nosso caso:
  • O escoamento é unidirecional ao longo de z, com vr=0, vtheta=0, vz=vz(r) (perfil que pode variar só em r).
  • Desprezamos difusão axial ( partial^2T/partial z^2approx0) e convecção radial ( vr=0).
  • Passamos para coordenadas cilíndricas (r,theta,z): vcdotnabla T ;=; vz(r),partial Tpartial z, nabla^2T ;=; 1rpartialpartial rl(r,partial Tpartial rr);+;partial^2Tpartial z^2approx1rpartialpartial rl(r,partial Tpartial rr)

Passo 4

Substituindo na equação de energia e dividindo por rho cp, a convecção axial em z equilibrada com a difusão radial dá:
vz(r),partial Tpartial z ;=; krho cp, 1rpartialpartial r!l(r,partial Tpartial rr)
Definindo o coeficiente de difusividade térmica alpha = k/(rho cp), ficamos com a forma mais “limpa”.

Resposta

A equação diferencial parcial que descreve o transporte de calor é:
boxed vz(r),partial Tpartial z ;=; alpha, 1r,partialpartial r!l(r,partial Tpartial rr)
com condições de contorno típicas:
  1. no centro do tubo, partial Tpartial r|r=0=0,
  2. na parede, T(r=R,z)=Tp,
  3. na entrada, T(r,z=0)=T0.

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