Um fluido escoa em um duto cilíndrico de raio
. O fluido entre em
a uma temperatura
, sendo aquecido através da parede, que é mantida a uma temperatura
, através de um coeficiente de transferência de calor h. Como as propriedades físicas do fluido (
e
) são consideradas constantes e a velocidade média do fluido,
, também é constante, determine a equação diferência parcial.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz o seguinte:
“Temos um fluido que entra num tubo cilíndrico de raio em
com temperatura
. A parede do tubo está a uma temperatura fixa
e troca calor com o fluido via um coeficiente de transferência
. As propriedades do fluido (
,
) e a velocidade média
são constantes. Precisamos achar a equação diferencial parcial que governa a temperatura
do fluido ao longo do tubo.”
“Temos um fluido que entra num tubo cilíndrico de raio
Conteúdo: balanço de energia em escoamento convectivo, lei de resfriamento de Newton, e derivação de PDE.
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Balanço de energia num elemento de volume do fluido
- Expressão da taxa de calor da parede (lei de Newton:
) - Relação área interna
e perímetro molhado
Passo 2
Primeiro, escolhe um “fatiamento” do tubo: um elemento cilíndrico de comprimento
, raio
, e seção
. Nesse pedaço, aplicamos o balanço de energia:
Acumulação de energia no volume = energia que entra por convecção – energia que sai por convecção + calor recebido pela parede.
Acumulação de energia no volume = energia que entra por convecção – energia que sai por convecção + calor recebido pela parede.
- Acumulação:
Sefor a temperatura local, a energia interna por volume é . A taxa de alteração é
- Convecção axial:
- Entra pelo lado
: . - Sai pelo lado
: .
A diferença, em série de Taylor, dá
- Calor vindo da parede (Lei de Newton):
onde
.
Colocando tudo no balanço “Acumulação = Convecção + Parede”:
Passo 3
Agora simplifica dividindo por
:
Lembra que
. Então
Passo 4
Juntando tudo na forma padrão de PDE:
Essa é a equação diferencial parcial de energia para o fluido no tubo, considerando escoamento em uma direção, calor pela parede e propriedades constantes.