Um fluido escoa em um duto cilíndrico de raio R. O fluido entre em z=L a uma temperatura TL, sendo aquecido através da parede, que é mantida a uma temperatura Tp, através de um coeficiente de transferência de calor h. Como as propriedades físicas do fluido ( rho e Cp ) são consideradas constantes e a velocidade média do fluido, v, também é constante, determine a equação diferência parcial.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte:
“Temos um fluido que entra num tubo cilíndrico de raio em com temperatura . A parede do tubo está a uma temperatura fixa e troca calor com o fluido via um coeficiente de transferência . As propriedades do fluido ( , ) e a velocidade média são constantes. Precisamos achar a equação diferencial parcial que governa a temperatura do fluido ao longo do tubo.”
Conteúdo: balanço de energia em escoamento convectivo, lei de resfriamento de Newton, e derivação de PDE.
O que vamos precisar:
  • Balanço de energia num elemento de volume do fluido
  • Expressão da taxa de calor da parede (lei de Newton: )
  • Relação área interna e perímetro molhado

Passo 2

Primeiro, escolhe um “fatiamento” do tubo: um elemento cilíndrico de comprimento Acumulação = partialpartial tl(rho Cp T ,A,dzr) = rho Cp A,dz;partial Tpartial t , raio Convecção líquida = -partialpartial zl(rho Cp v,T,Ar),dz = -rho Cp v A,partial Tpartial z,dz , e seção Fluxo da parede = h,P,(Tp - T),dz, . Nesse pedaço, aplicamos o balanço de energia:
Acumulação de energia no volume = energia que entra por convecção – energia que sai por convecção + calor recebido pela parede.
  1. Acumulação:
    Se rho Cp A,dz;partial Tpartial t = -rho Cp v A,partial Tpartial z,dz ;+;h,P,(Tp - T),dz for a temperatura local, a energia interna por volume é . A taxa de alteração é
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  1. Convecção axial:
  • Entra pelo lado : .
  • Sai pelo lado : .
    A diferença, em série de Taylor, dá
çãí
  1. Calor vindo da parede (Lei de Newton):
onde .
Colocando tudo no balanço “Acumulação = Convecção + Parede”:

Passo 3

Agora simplifica dividindo por partial Tpartial t = -v,partial Tpartial z ;+;h,Prho Cp A,(Tp - T) :
h,Prho Cp A = hrho Cp,2R = 2hrho Cp R
Lembra que . Então

Passo 4

Juntando tudo na forma padrão de PDE:
boxed partial Tpartial t + v,partial Tpartial z = 2hrho Cp,R,l(Tp - Tr)
Essa é a equação diferencial parcial de energia para o fluido no tubo, considerando escoamento em uma direção, calor pela parede e propriedades constantes.

Resposta

partial Tpartial t + v,partial Tpartial z = 2hrho Cp,R,l(Tp - Tr)

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