Num tubo em U aberto de ambas as extremidades encontra-se água. Num dos ramos deita-se outro líquido imiscível com a água. Noutro ramo a água sobe de 8.3 e o seu nível fica de 2.1 cm abaixo do nível do liquido deitado. Determine a densidade outro liquido.
Passo 1
O enunciado diz, em palavras: num tubo em U aberto em ambas as extremidades havia água inicialmente em níveis iguais. Em um dos ramos deita-se um outro líquido imiscível com a água. Como consequência, no outro ramo a água sobe
em relação ao nível original e o nível dessa água (no ramo onde ela subiu) fica
abaixo do nível do líquido deitado. A tarefa é determinar a densidade desse outro líquido.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A água é o fluido que está em ambos os ramos antes de deitar o novo líquido.
- A água no ramo oposto eleva-se
. - O nível da água (no ramo onde ela subiu) fica
abaixo do nível do líquido deitado. - Os dois líquidos são imiscíveis (formam camadas).
- O tubo é aberto nas duas extremidades (pressões na superfície de ambos os líquidos são iguais e iguais à pressão atmosférica).
- Assumimos a densidade da água como
(ou ).
Passo 2
Vamos entender a ideia física básica (explicação didática, sem pular etapas):
Quando há dois ramos de um mesmo tubo comunicante, a pressão no mesmo nível horizontal dentro do fluido é a mesma dos dois lados. Como os topos das colunas estão abertos à atmosfera, a pressão atmosférica age nas superfícies de ambos os ramos. Indo do topo até um ponto comum mais baixo (por exemplo, o ponto de comunicação inferior do U), a pressão aumenta devido ao peso das colunas de fluido acima desse ponto. Em equilíbrio hidrostático:
onde
é a densidade do fluido na coluna e
a altura da coluna de fluido (medida verticalmente do topo até o ponto considerado). Podemos cancelar
e
porque são iguais dos dois lados.
No nosso caso, de um lado temos, de cima para baixo, o novo líquido (densidade desconhecida) sobre a água; do outro lado temos apenas água. Igualando as pressões no mesmo nível do fundo do U obtemos a equação que relaciona as alturas e densidades. Vou definir cuidadosamente as variáveis no próximo passo.
Passo 3
Definição de variáveis e relações geométricas (muito importante para não se confundir):
- Seja
a densidade da água (tomamos ). - Seja
a densidade do outro líquido (o que queremos). - Seja
o quanto a água subiu no ramo oposto. - Seja
a diferença entre o nível do líquido deitado (topo do líquido novo) e o nível da água do ramo oposto, isto é, o nível da água no ramo onde ela subiu fica abaixo do topo do líquido deitado.
Agora algumas relações de alturas (todas medidas verticalmente):
- Após a operação, o topo da água no ramo direito está
acima do nível inicial. - O topo da água no ramo onde foi deitado o líquido está
abaixo do nível inicial (porque o volume deslocado fez subir o outro lado). - Portanto, a diferença de altura entre os topos da água dos dois ramos é
- O topo do líquido deitado está
acima do topo da água do ramo que subiu. Logo, em relação ao topo da água do ramo que caiu (o mesmo ramo onde está o novo líquido), a espessura da camada do líquido deitado é
Mas podemos obter
somando a diferença entre o topo do líquido deitado e o topo da outra água mais a diferença entre os topos de água:
Intuição: o novo líquido sobe bem acima do nível da água do outro ramo; a camada do novo líquido tem
de espessura medida na coluna onde foi deitado.
Passo 4
Agora escrevemos a igualdade de pressões no mesmo nível horizontal na parte inferior do U (entre as colunas). Tomando esse ponto comum, a pressão exercida pela coluna do lado do novo líquido é:
onde
é a espessura da camada do novo líquido (acima da água nesse ramo) e
é a altura da coluna de água nesse lado entre a superfície da água e o ponto comum. Do lado direito (apenas água),
Em equilíbrio
. Cancelando
e
obtemos:
Mas a diferença entre as alturas das superfícies de água dos dois ramos é
. Substituindo,
Cancelando
dos dois lados:
Passo 5
Agora isolamos
:
Substituímos
e
:
Calculemos a razão:
Portanto
Se preferirmos em unidades do SI:
Passo 6
Interpretação final e checagem rápida: o resultado indica que o líquido deitado é menos denso que a água (pois
), o que faz sentido com ele ficar acima da água (camada sobre a água). Os números batem com as diferenças de altura fornecidas pelo enunciado.
Força final: você está indo bem — problemas de tubo em U são sempre sobre igualar pressões no mesmo nível e cuidar direito das alturas. Respira, segue essa receita nas próximas questões e fica mais fácil.