Num tubo em U aberto de ambas as extremidades encontra-se água. Num dos ramos deita-se outro líquido imiscível com a água. Noutro ramo a água sobe de 8.3 e o seu nível fica de 2.1 cm abaixo do nível do liquido deitado. Determine a densidade outro liquido.

Passo 1

O enunciado diz, em palavras: num tubo em U aberto em ambas as extremidades havia água inicialmente em níveis iguais. Em um dos ramos deita-se um outro líquido imiscível com a água. Como consequência, no outro ramo a água sobe 8,3\\ \text{cm} em relação ao nível original e o nível dessa água (no ramo onde ela subiu) fica 2,1\\ \text{cm} abaixo do nível do líquido deitado. A tarefa é determinar a densidade desse outro líquido.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A água é o fluido que está em ambos os ramos antes de deitar o novo líquido.
  • A água no ramo oposto eleva-se 8,3\\ \text{cm}.
  • O nível da água (no ramo onde ela subiu) fica 2,1\\ \text{cm} abaixo do nível do líquido deitado.
  • Os dois líquidos são imiscíveis (formam camadas).
  • O tubo é aberto nas duas extremidades (pressões na superfície de ambos os líquidos são iguais e iguais à pressão atmosférica).
  • Assumimos a densidade da água como \rho_{\text{água}}=1{,}00\\ \text{g/cm}^3á (ou 1000\\ \text{kg/m}^3).

Passo 2

Vamos entender a ideia física básica (explicação didática, sem pular etapas):
Quando há dois ramos de um mesmo tubo comunicante, a pressão no mesmo nível horizontal dentro do fluido é a mesma dos dois lados. Como os topos das colunas estão abertos à atmosfera, a pressão atmosférica age nas superfícies de ambos os ramos. Indo do topo até um ponto comum mais baixo (por exemplo, o ponto de comunicação inferior do U), a pressão aumenta devido ao peso das colunas de fluido acima desse ponto. Em equilíbrio hidrostático:
P_{\text{atm}} + \rho_1 g h_1 = P_{\text{atm}} + \rho_2 g h_2,
onde \rho_i é a densidade do fluido na coluna e h_i a altura da coluna de fluido (medida verticalmente do topo até o ponto considerado). Podemos cancelar P_{\text{atm}} e g porque são iguais dos dois lados.
No nosso caso, de um lado temos, de cima para baixo, o novo líquido (densidade desconhecida) sobre a água; do outro lado temos apenas água. Igualando as pressões no mesmo nível do fundo do U obtemos a equação que relaciona as alturas e densidades. Vou definir cuidadosamente as variáveis no próximo passo.

Passo 3

Definição de variáveis e relações geométricas (muito importante para não se confundir):
  • Seja \rho_w a densidade da água (tomamos \rho_w=1{,}00\\ \text{g/cm}^3).
  • Seja \rho_x a densidade do outro líquido (o que queremos).
  • Seja \Delta = 8{,}3\\ \text{cm} o quanto a água subiu no ramo oposto.
  • Seja d = 2{,}1\\ \text{cm} a diferença entre o nível do líquido deitado (topo do líquido novo) e o nível da água do ramo oposto, isto é, o nível da água no ramo onde ela subiu fica 2{,}1\\ \text{cm} abaixo do topo do líquido deitado.
Agora algumas relações de alturas (todas medidas verticalmente):
  • Após a operação, o topo da água no ramo direito está +\Delta acima do nível inicial.
  • O topo da água no ramo onde foi deitado o líquido está -\Delta abaixo do nível inicial (porque o volume deslocado fez subir o outro lado).
  • Portanto, a diferença de altura entre os topos da água dos dois ramos é
\text{diferença entre topos da água} = 2\Delta = 2\cdot 8{,}3 = 16{,}6\\ \text{cm}.çá
  • O topo do líquido deitado está d acima do topo da água do ramo que subiu. Logo, em relação ao topo da água do ramo que caiu (o mesmo ramo onde está o novo líquido), a espessura da camada do líquido deitado é
h_x = (\text{topo do líquido deitado}) - (\text{topo da água nesse mesmo ramo}).íá
Mas podemos obter h_x somando a diferença entre o topo do líquido deitado e o topo da outra água mais a diferença entre os topos de água:
h_x = (2\Delta) + d = 16{,}6 + 2{,}1 = 18{,}7\\ \text{cm}.
Intuição: o novo líquido sobe bem acima do nível da água do outro ramo; a camada do novo líquido tem 18{,}7\\ \text{cm} de espessura medida na coluna onde foi deitado.

Passo 4

Agora escrevemos a igualdade de pressões no mesmo nível horizontal na parte inferior do U (entre as colunas). Tomando esse ponto comum, a pressão exercida pela coluna do lado do novo líquido é:
P_{\text{esq}} = P_{\text{atm}} + \rho_x g h_x + \rho_w g h_{\text{w,esq}},
onde h_x é a espessura da camada do novo líquido (acima da água nesse ramo) e h_{\text{w,esq}} é a altura da coluna de água nesse lado entre a superfície da água e o ponto comum. Do lado direito (apenas água),
P_{\text{dir}} = P_{\text{atm}} + \rho_w g h_{\text{w,dir}}.
Em equilíbrio P_{\text{esq}} = P_{\text{dir}}. Cancelando P_{\text{atm}} e g obtemos:
\rho_x h_x + \rho_w h_{\text{w,esq}} = \rho_w h_{\text{w,dir}}.
Mas a diferença entre as alturas das superfícies de água dos dois ramos é h_{\text{w,dir}} - h_{\text{w,esq}} = 2\Delta = 16{,}6\\ \text{cm}. Substituindo,
\rho_x h_x + \rho_w h_{\text{w,esq}} = \rho_w (h_{\text{w,esq}} + 16{,}6).
Cancelando \rho_w h_{\text{w,esq}} dos dois lados:
\rho_x h_x = \rho_w \cdot 16{,}6.

Passo 5

Agora isolamos \rho_x:
\rho_x = \rho_w \cdot \frac{16{,}6}{h_x}.
Substituímos h_x = 18{,}7\\ \text{cm} e \rho_w = 1{,}00\\ \text{g/cm}^3:
\rho_x = 1{,}00 \cdot \frac{16{,}6}{18{,}7} \\ \text{g/cm}^3.
Calculemos a razão:
\frac{16{,}6}{18{,}7} \approx 0{,}887.
Portanto
\rho_x \approx 0{,}887\\ \text{g/cm}^3.
Se preferirmos em unidades do SI:
\rho_x \approx 887\\ \text{kg/m}^3.

Passo 6

Interpretação final e checagem rápida: o resultado indica que o líquido deitado é menos denso que a água (pois \rho_x<\rho_w), o que faz sentido com ele ficar acima da água (camada sobre a água). Os números batem com as diferenças de altura fornecidas pelo enunciado.
Força final: você está indo bem — problemas de tubo em U são sempre sobre igualar pressões no mesmo nível e cuidar direito das alturas. Respira, segue essa receita nas próximas questões e fica mais fácil.

Resposta

\rho = 0{,}887\\ \text{g/cm}^3
\rho \approx 887\\ \text{kg/m}^3

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