Num tubo em U (manómetro de liquido) aberto de ambas as extremidades, inicialmente encontra-se água. Numa parte (num joelho) deita-se outro liquido que não faz mistura com a água. Noutro joelho a água sobe de 8.7 cm em relação ao seu nível inicial e o seu nível novo fica de 4.9 cm abaixo do nível do liquido deitado. Determine a densidade desse líquido.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a densidade do líquido que foi deitado num joelho do tubo em U. Informações dadas:
  • Inicialmente havia água nos dois ramos com o mesmo nível.
  • Após deitar o outro líquido (que não se mistura com a água), a água no joelho oposto sobe 8,7\\ \text{cm} em relação ao seu nível inicial.
  • O novo nível da água (presumo: o nível da água naquele joelho que subiu) fica 4,9\\ \text{cm} abaixo do nível do líquido deitado. Ou seja, a superfície livre do líquido deitado está 4,9\\ \text{cm} acima da superfície livre da água do outro ramo.
  • Queremos a densidade do líquido deitado, que chamaremos de \rho.
  • Vou usar como densidade da água \rho_{w}=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}} (valor padrão).

Passo 2

Definimos alturas e variáveis para organizar a imagem mental (não precisa desenhar, mas é útil raciocinar assim):
  • Seja H_{R} a altura da coluna de água no ramo direito (aquele que subiu) medida do fundo comum do U até a superfície livre da água nesse ramo, após a perturbação.
  • Seja H_{L,w} a altura da coluna de água no ramo esquerdo (sob o líquido deitado) medida do fundo até a superfície livre da água nesse ramo, após a perturbação.
  • Seja H_{L} a altura da coluna do líquido deitado medida da superfície da água no ramo esquerdo até a superfície livre do líquido deitado (ou seja, a altura do “manto” do líquido deitado sobre a água naquele ramo).
  • Chamamos de x a quantidade que o nível da água desceu no ramo onde foi deitado o líquido (comparado ao nível inicial).
O enunciado dá que a água do ramo direito subiu 8,7\\ \text{cm}. Como o volume de água total não muda e as áreas transversais dos dois ramos são iguais, a água que desceu num ramo corresponde exatamente à que subiu no outro. Portanto:
x = 8,7\\ \text{cm}.
Explicação curta: se a água desceu x num ramo, o outro ramo teve um acréscimo de x; o enunciado diz que o aumento do outro ramo é 8,7\\ \text{cm}, logo a descendência no ramo com o líquido é x=8,7\\ \text{cm}.

Passo 3

Relação geométrica entre superfícies dada pelo enunciado:
  • A superfície livre do líquido deitado está 4,9\\ \text{cm} acima da superfície livre da água no ramo direito. Em termos das variáveis: a diferença entre a cota da superfície do líquido deitado (que é H_{L,w}+H_{L}) e a superfície da água do ramo direito (que é H_{R}) é 4,9\\ \text{cm}. Usando que a água do ramo direito subiu 8,7\\ \text{cm} e a água no ramo esquerdo desceu x=8,7\\ \text{cm}, obtemos a equação:
(H_{L,w}+H_{L}) - H_{R} = 4,9\\ \text{cm}.
Como as cotas iniciais eram iguais, H_{R}-H_{L,w} = 8,7 + x = 8,7 + 8,7 = 17,4\\ \text{cm}. Mais direto: substituindo H_{R}=H_{0}+8,7 e H_{L,w}=H_{0}-x com x=8,7, a diferença leva à relação simples
H_{L} - x = 13,6\\ \text{cm}.
Substituindo x=8,7\\ \text{cm} obtemos a altura do líquido deitado:
H_{L} = x + 13,6 = 8,7 + 13,6 = 22,3\\ \text{cm}.

Passo 4

Agora aplicamos equilíbrio hidrostático (a ideia essencial): em equilíbrio, a pressão em um mesmo ponto horizontal do circuito (por exemplo, no fundo do U) é a mesma quer se calcule percorrendo a coluna do lado esquerdo, quer se calcule pelo lado direito. A pressão é dada por p = p_{\text{atm}} + \rho g h para uma coluna de altura h de fluido de densidade \rho. Como ambos os ramos têm a mesma pressão atmosférica na superfície livre, podemos igualar as colunas:
Percorrendo do topo da água do ramo direito até o fundo temos contribuição apenas da água:
p_{\text{fundo}} = p_{\text{atm}} + \rho_{w} g H_{R}.
Percorrendo do topo do líquido deitado no ramo esquerdo até o fundo temos contribuição do líquido deitado (altura H_{L}, densidade \rho) mais a água abaixo dele (altura H_{L,w}, densidade \rho_{w}):
p_{\text{fundo}} = p_{\text{atm}} + \rho g H_{L} + \rho_{w} g H_{L,w}.
Igualando (e cancelando p_{\text{atm}} e g):
\rho_{w} H_{R} = \rho H_{L} + \rho_{w} H_{L,w}.
Reescrevendo:
\rho_{w}(H_{R}-H_{L,w}) = \rho H_{L}.
A diferença de alturas da coluna de água é exatamente H_{R}-H_{L,w}=17,4\\ \text{cm} (veja passo 3). Então:
\rho_{w}\cdot 17,4\\ \text{cm} = \rho \cdot 22,3\\ \text{cm}.
Como as alturas estão em cm em ambos os lados, elas se cancelam na razão; assim:
\rho = \rho_{w}\cdot\frac{17,4}{22,3}.

Passo 5

Substituímos \rho_{w}=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}} e calculamos:
\rho = 1000\cdot\frac{17,4}{22,3}\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
Fazendo a conta:
\frac{17,4}{22,3}\approx 0,7807,
portanto
\rho \approx 1000\cdot 0,7807 = 780,7\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
Em unidades mais comuns para líquidos: \rho \approx 0,781\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
Pequena observação de compreensão: o valor menor que 1000\\ \mathrm{kg/m^{3}} indica que o líquido deitado é mais leve que a água, o que bate com a informação de que a sua superfície ficou acima da superfície da água.

Resposta

\rho \approx 780{,}7\\ \mathrm{kg/m^{3}}

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