Num tubo em U (manómetro de liquido) aberto de ambas as extremidades, inicialmente encontra-se água. Numa parte (num joelho) deita-se outro liquido que não faz mistura com a água. Noutro joelho a água sobe de 8.7 cm em relação ao seu nível inicial e o seu nível novo fica de 4.9 cm abaixo do nível do liquido deitado. Determine a densidade desse líquido.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a densidade do líquido que foi deitado num joelho do tubo em U. Informações dadas:
- Inicialmente havia água nos dois ramos com o mesmo nível.
- Após deitar o outro líquido (que não se mistura com a água), a água no joelho oposto sobe
em relação ao seu nível inicial. - O novo nível da água (presumo: o nível da água naquele joelho que subiu) fica
abaixo do nível do líquido deitado. Ou seja, a superfície livre do líquido deitado está acima da superfície livre da água do outro ramo. - Queremos a densidade do líquido deitado, que chamaremos de
. - Vou usar como densidade da água
(valor padrão).
Passo 2
Definimos alturas e variáveis para organizar a imagem mental (não precisa desenhar, mas é útil raciocinar assim):
- Seja
a altura da coluna de água no ramo direito (aquele que subiu) medida do fundo comum do U até a superfície livre da água nesse ramo, após a perturbação. - Seja
a altura da coluna de água no ramo esquerdo (sob o líquido deitado) medida do fundo até a superfície livre da água nesse ramo, após a perturbação. - Seja
a altura da coluna do líquido deitado medida da superfície da água no ramo esquerdo até a superfície livre do líquido deitado (ou seja, a altura do “manto” do líquido deitado sobre a água naquele ramo). - Chamamos de
a quantidade que o nível da água desceu no ramo onde foi deitado o líquido (comparado ao nível inicial).
O enunciado dá que a água do ramo direito subiu
. Como o volume de água total não muda e as áreas transversais dos dois ramos são iguais, a água que desceu num ramo corresponde exatamente à que subiu no outro. Portanto:
Explicação curta: se a água desceu
num ramo, o outro ramo teve um acréscimo de
; o enunciado diz que o aumento do outro ramo é
, logo a descendência no ramo com o líquido é
.
Passo 3
Relação geométrica entre superfícies dada pelo enunciado:
- A superfície livre do líquido deitado está
acima da superfície livre da água no ramo direito. Em termos das variáveis: a diferença entre a cota da superfície do líquido deitado (que é ) e a superfície da água do ramo direito (que é ) é . Usando que a água do ramo direito subiu e a água no ramo esquerdo desceu , obtemos a equação:
Como as cotas iniciais eram iguais,
. Mais direto: substituindo
e
com
, a diferença leva à relação simples
Substituindo
obtemos a altura do líquido deitado:
Passo 4
Agora aplicamos equilíbrio hidrostático (a ideia essencial): em equilíbrio, a pressão em um mesmo ponto horizontal do circuito (por exemplo, no fundo do U) é a mesma quer se calcule percorrendo a coluna do lado esquerdo, quer se calcule pelo lado direito. A pressão é dada por
para uma coluna de altura
de fluido de densidade
. Como ambos os ramos têm a mesma pressão atmosférica na superfície livre, podemos igualar as colunas:
Percorrendo do topo da água do ramo direito até o fundo temos contribuição apenas da água:
Percorrendo do topo do líquido deitado no ramo esquerdo até o fundo temos contribuição do líquido deitado (altura
, densidade
) mais a água abaixo dele (altura
, densidade
):
Igualando (e cancelando
e
):
Reescrevendo:
A diferença de alturas da coluna de água é exatamente
(veja passo 3). Então:
Como as alturas estão em cm em ambos os lados, elas se cancelam na razão; assim:
Passo 5
Substituímos
e calculamos:
Fazendo a conta:
portanto
Em unidades mais comuns para líquidos:
.
Pequena observação de compreensão: o valor menor que
indica que o líquido deitado é mais leve que a água, o que bate com a informação de que a sua superfície ficou acima da superfície da água.