Considere a seguinte função: f(t)=\operatorname{arctg}\left(t^{2}\right).
Para esta função, resolva, sucessivamente, as seguintes questões:
  • Determine o domínio de f.
  • (Opcional) determine as raízes de f (se houver), e determine se f é par ou ímpar, o nenhuma destas opções.
  • Obtenha as equações das assíntotas verticais ao gráfico de f, ou justifique a não existência de tais retas.
  • Obtenha as equações das assíntotas horizontais ao gráfico de f, ou justifique a não existência de tais retas.
  • Encontre os intervalos de crescimento e de decrescimento de f.
  • Determine os valores do domínio de f de máximo ou mínimo (se houver). Ainda, determine se tais valores são absolutos ou relativos (por convenção, “relativo” significa “relativo, mas não absoluto”).
  • Determine os intervalos para os quais o gráfico de f é côncavo para cima ou para baixo. Determine ainda os pontos de inflexão do gráfico de f (se houver).
  • Aproveitando todas as informações coletadas nos itens anteriores esboce o gráfico de f. Deve indicar as coordenadas dos pontos notáveis obtidos nos itens anteriores.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais informações temos da função. A função dada é \displaystyle f(t)=\operatorname{arctg}\!\big(t^{2}\big).
Perguntas que devemos responder, em ordem:
  • Determinar o domínio de f.
  • (Opcional) Determinar as raízes de f (se houver) e verificar se f é par, ímpar ou nenhuma das duas.
  • Obter as equações das assíntotas verticais (ou justificar a não existência).
  • Obter as equações das assíntotas horizontais (ou justificar a não existência).
  • Encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento de f.
  • Determinar pontos de máximo e mínimo (e se são relativos ou absolutos).
  • Determinar intervalos de concavidade para cima e para baixo e identificar pontos de inflexão (se houver).
  • Esboçar o gráfico usando todas as informações anteriores e indicar coordenadas dos pontos notáveis obtidos.
Não há outras informações adicionais no enunciado. A função usa \operatorname{arctg} (arctan), e a variável é t.

Passo 2

Domínio. Explico a ideia: o domínio de f é o conjunto de valores de t para os quais a expressão t^{2} faz sentido e para os quais \operatorname{arctg} está definida. A operação t^{2} está bem definida para todo número real. A função \operatorname{arctg}(x) está definida para todo x\in\mathbb{R}. Portanto não há restrição.
Conclusão:
\text{Domínio}(f)=\mathbb{R}.í

Passo 3

Raízes e paridade. Primeiro as raízes: resolver \operatorname{arctg}\!\big(t^{2}\big)=0. Como \operatorname{arctg}(x)=0 acontece exatamente quando x=0, temos t^{2}=0 e então t=0. Logo a única raiz é t=0.
Agora paridade: f(-t)=\operatorname{arctg}\!\big((-t)^{2}\big)=\operatorname{arctg}\!\big(t^{2}\big)=f(t). Como f(-t)=f(t) para todo t, a função é par.
Resultado:
  • Raiz: t=0.
  • Paridade: f é par.

Passo 4

Assíntotas verticais. Assíntotas verticais ocorrem quando a função tende a \pm\infty em algum ponto finito ou quando a função não está definida em algum ponto e tem desvio infinito. Aqui f está definida em todo \mathbb{R} e \operatorname{arctg} é uma função limitada (os valores de \operatorname{arctg} estão entre -\tfrac{\pi}{2} e \tfrac{\pi}{2}). Portanto não existem pontos onde f tende a infinito verticalmente.
Conclusão:
  • Não há assíntotas verticais.

Passo 5

Assíntotas horizontais. Para achar assíntotas horizontais calculamos os limites quando t\to\infty e t\to-\infty. Observação: t^{2}\to+\infty quando t\to\pm\infty. E \operatorname{arctg}(x) tende para \tfrac{\pi}{2} quando x\to+\infty.
Portanto
\lim_{t\to\infty} f(t)=\lim_{t\to\infty}\operatorname{arctg}\!\big(t^{2}\big)=\frac{\pi}{2}, \qquad \lim_{t\to-\infty} f(t)=\lim_{t\to-\infty}\operatorname{arctg}\!\big(t^{2}\big)=\frac{\pi}{2}.
Como os dois limites laterais em \pm\infty são iguais a \tfrac{\pi}{2}, existe uma assíntota horizontal:
y=\frac{\pi}{2}.

Passo 6

Derivada primeira — regra e cálculo passo a passo. Para estudar monotonicidade precisamos de f'(t). Usamos a regra da cadeia. Lembrete: se F(x)=\operatorname{arctg}(x), então F'(x)=\dfrac{1}{1+x^{2}}. Se u(t)=t^{2}, então u'(t)=2t. Pela regra da cadeia,
f'(t)=F'\big(u(t)\big)\cdot u'(t)=\frac{1}{1+\big(t^{2}\big)^{2}}\cdot 2t.
Simplificando \big(t^{2}\big)^{2}=t^{4}, obtemos
\boxed{\,f'(t)=\dfrac{2t}{1+t^{4}}\,.}
Vou explicar cada símbolo: f'(t) é a derivada de f em t; o numerador 2t vem da derivada de t^{2}; o denominador 1+t^{4} vem da fórmula da derivada de \operatorname{arctg} aplicada a t^{2}.

Passo 7

Monotonicidade — análise do sinal de f'(t). O denominador 1+t^{4} é sempre positivo para todo t. Assim o sinal de f'(t) é o mesmo do numerador 2t. Logo:
  • Se t>0, então f'(t)>0.
  • Se t<0, então f'(t)<0.
  • Em t=0, f'(0)=0.
Portanto:
  • f é estritamente decrescente em (-\infty,0).
  • f é estritamente crescente em (0,\infty).

Passo 8

Extremos — classificação. Em t=0 temos f'(0)=0 e a derivada muda de negativa (à esquerda) para positiva (à direita). Isso caracteriza um mínimo local. Além disso, f(t)=\operatorname{arctg}(t^{2})\ge \operatorname{arctg}(0)=0 para todo t porque t^{2}\ge0 e \operatorname{arctg} é crescente. Logo f(0)=0 é o menor valor que f atinge — é um mínimo absoluto (global).
Não existe ponto de máximo absoluto porque \lim_{t\to\pm\infty} f(t)=\tfrac{\pi}{2} e f(t)<\tfrac{\pi}{2} para todo t, isto é, a função se aproxima de \tfrac{\pi}{2} mas nunca o alcança.
Resumo:
  • Mínimo em t=0: f(0)=0. É mínimo relativo e também mínimo absoluto.
  • Não há máximo (nem local nem absoluto).

Passo 9

Derivada segunda — cálculo e explicação. Para estudar concavidade precisamos de f''(t). Podemos derivar f'(t)=2t(1+t^{4})^{-1} usando a regra do quociente ou produto + cadeia. Vou usar a forma de quociente de modo direto (é o mesmo resultado):
f''(t)=\frac{(2)(1+t^{4}) - 2t\cdot(4t^{3})}{(1+t^{4})^{2}}.
Explicando: derivada do numerador 2t é 2; derivada do denominador 1+t^{4} é 4t^{3}. Simplificando o numerador:
(2)(1+t^{4}) - 2t\cdot(4t^{3}) = 2 + 2t^{4} - 8t^{4} = 2 - 6t^{4}.
Portanto
\boxed{\,f''(t)=\dfrac{2(1-3t^{4})}{(1+t^{4})^{2}}\,.}
Aqui o denominador é sempre positivo, então o sinal de f''(t) depende do fator 1-3t^{4}.

Passo 10

Concavidade e pontos de inflexão. A concavidade depende do sinal de f''(t)=\dfrac{2(1-3t^{4})}{(1+t^{4})^{2}}.
Resolver f''(t)=0 equivale a 1-3t^{4}=0, ou seja t^{4}=\dfrac{1}{3}. Assim as raízes são
t=\pm\left(\frac{1}{3}\right)^{1/4}=\pm 3^{-1/4}.
Analisando o sinal:
  • Para |t|<3^{-1/4} temos t^{4}<\tfrac{1}{3} então 1-3t^{4}>0 e f''(t)>0. Logo f é côncava para cima em \big(-3^{-1/4},\,3^{-1/4}\big).
  • Para |t|>3^{-1/4} temos t^{4}>\tfrac{1}{3} então 1-3t^{4}<0 e f''(t)<0. Logo f é côncava para baixo em (-\infty,-3^{-1/4})\cup(3^{-1/4},\infty).
Como f'' muda de sinal em t=\pm 3^{-1/4}, esses pontos são pontos de inflexão. Vamos calcular as coordenadas desses pontos. Em t=\pm 3^{-1/4} temos
t^{2}=\big(3^{-1/4}\big)^{2}=3^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{3}}.
Logo
f\big(\pm 3^{-1/4}\big)=\operatorname{arctg}\!\Big(\frac{1}{\sqrt{3}}\Big)=\frac{\pi}{6}.
Portanto os pontos de inflexão são:
\left(\,-3^{-1/4},\,\frac{\pi}{6}\right)\quad\text{e}\quad\left(3^{-1/4},\,\frac{\pi}{6}\right).

Passo 11

Esboço do gráfico e pontos notáveis — descrição. Vou listar as coordenadas e características que devem aparecer no esboço (para você desenhar rapidamente no caderno):
Pontos e características notáveis:
  • Domínio: toda reta real.
  • Raiz / mínimo global: \big(0,0\big). Em t=0 a função tem vale mínimo absoluto.
  • Pontos de inflexão: \displaystyle\left(\pm 3^{-1/4},\,\frac{\pi}{6}\right), numericamente \pm 3^{-1/4}\approx\pm 0{,}760 e \tfrac{\pi}{6}\approx0{,}5236.
  • Valor em t=1: f(1)=\operatorname{arctg}(1)=\frac{\pi}{4}\approx0{,}7854. Derivada em 1: f'(1)=\dfrac{2}{1+1}=1.
  • Comportamento para grandes |t|: a curva sobe (à direita) e desce simetricamente (à esquerda) aproximando-se de y=\tfrac{\pi}{2} sem alcançá-la; essa reta y=\tfrac{\pi}{2} é a assíntota horizontal.
  • Concavidade: côncava para cima entre os dois pontos de inflexão (em torno da origem), e côncava para baixo fora deles.
  • Simetria: como a função é par, o gráfico é simétrico em relação ao eixo y.
Sugestão de como desenhar: desenhar o ponto (0,0) como o mínimo; desenhar dois pontos de inflexão próximos a t\approx\pm0{,}76 em altura \pi/6; passar por (1,\pi/4); traçar a curva subindo lentamente para a direita e aproximando-se horizontalmente de y=\pi/2; espelhar à esquerda.
Você pode marcar no esboço as seguintes coordenadas exatas:
  • (0,0).
  • \left(3^{-1/4},\tfrac{\pi}{6}\right) e \left(-3^{-1/4},\tfrac{\pi}{6}\right).
  • (1,\tfrac{\pi}{4}).
  • Assíntota horizontal y=\tfrac{\pi}{2}.
Vai dar um gráfico com sorriso simétrico em torno do eixo y, mínimo em 0, com inflexões onde a curvatura muda de para cima para para baixo, e com topo horizontal aproximado em \tfrac{\pi}{2}.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}.
Raiz e paridade: raiz em t=0; f é par.
Assíntotas verticais: não existem.
Assíntotas horizontais: y=\dfrac{\pi}{2}.
Crescimento/decrescimento: f é decrescente em (-\infty,0) e crescente em (0,\infty).
Extremos: mínimo absoluto e relativo em t=0 com f(0)=0. Não há máximo.
Concavidade e inflexões: f é côncava para cima em \big(-3^{-1/4},\,3^{-1/4}\big) e côncava para baixo em (-\infty,-3^{-1/4})\cup(3^{-1/4},\infty). Pontos de inflexão em \left(\pm 3^{-1/4},\,\dfrac{\pi}{6}\right).
Pontos notáveis para o esboço: (0,0), \left(\pm 3^{-1/4},\,\dfrac{\pi}{6}\right), (1,\tfrac{\pi}{4}); assíntota horizontal y=\tfrac{\pi}{2}.

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