Considere a seguinte função:
.
Para esta função, resolva, sucessivamente, as seguintes questões:
- Determine o domínio de f.
- (Opcional) determine as raízes de f (se houver), e determine se f é par ou ímpar, o nenhuma destas opções.
- Obtenha as equações das assíntotas verticais ao gráfico de f, ou justifique a não existência de tais retas.
- Obtenha as equações das assíntotas horizontais ao gráfico de f, ou justifique a não existência de tais retas.
- Encontre os intervalos de crescimento e de decrescimento de f.
- Determine os valores do domínio de f de máximo ou mínimo (se houver). Ainda, determine se tais valores são absolutos ou relativos (por convenção, “relativo” significa “relativo, mas não absoluto”).
- Determine os intervalos para os quais o gráfico de f é côncavo para cima ou para baixo. Determine ainda os pontos de inflexão do gráfico de
(se houver).
- Aproveitando todas as informações coletadas nos itens anteriores esboce o gráfico de f. Deve indicar as coordenadas dos pontos notáveis obtidos nos itens anteriores.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais informações temos da função. A função dada é
.
Perguntas que devemos responder, em ordem:
- Determinar o domínio de
. - (Opcional) Determinar as raízes de
(se houver) e verificar se é par, ímpar ou nenhuma das duas. - Obter as equações das assíntotas verticais (ou justificar a não existência).
- Obter as equações das assíntotas horizontais (ou justificar a não existência).
- Encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento de
. - Determinar pontos de máximo e mínimo (e se são relativos ou absolutos).
- Determinar intervalos de concavidade para cima e para baixo e identificar pontos de inflexão (se houver).
- Esboçar o gráfico usando todas as informações anteriores e indicar coordenadas dos pontos notáveis obtidos.
Não há outras informações adicionais no enunciado. A função usa
(arctan), e a variável é
.
Passo 2
Domínio. Explico a ideia: o domínio de
é o conjunto de valores de
para os quais a expressão
faz sentido e para os quais
está definida. A operação
está bem definida para todo número real. A função
está definida para todo
. Portanto não há restrição.
Conclusão:
Passo 3
Raízes e paridade. Primeiro as raízes: resolver
. Como
acontece exatamente quando
, temos
e então
. Logo a única raiz é
.
Agora paridade:
. Como
para todo
, a função é par.
Resultado:
- Raiz:
. - Paridade:
é par.
Passo 4
Assíntotas verticais. Assíntotas verticais ocorrem quando a função tende a
em algum ponto finito ou quando a função não está definida em algum ponto e tem desvio infinito. Aqui
está definida em todo
e
é uma função limitada (os valores de
estão entre
e
). Portanto não existem pontos onde
tende a infinito verticalmente.
Conclusão:
- Não há assíntotas verticais.
Passo 5
Assíntotas horizontais. Para achar assíntotas horizontais calculamos os limites quando
e
. Observação:
quando
. E
tende para
quando
.
Portanto
Como os dois limites laterais em
são iguais a
, existe uma assíntota horizontal:
Passo 6
Derivada primeira — regra e cálculo passo a passo. Para estudar monotonicidade precisamos de
. Usamos a regra da cadeia. Lembrete: se
, então
. Se
, então
. Pela regra da cadeia,
Simplificando
, obtemos
Vou explicar cada símbolo:
é a derivada de
em
; o numerador
vem da derivada de
; o denominador
vem da fórmula da derivada de
aplicada a
.
Passo 7
Monotonicidade — análise do sinal de
. O denominador
é sempre positivo para todo
. Assim o sinal de
é o mesmo do numerador
. Logo:
- Se
, então . - Se
, então . - Em
, .
Portanto:
-
é estritamente decrescente em . -
é estritamente crescente em .
Passo 8
Extremos — classificação. Em
temos
e a derivada muda de negativa (à esquerda) para positiva (à direita). Isso caracteriza um mínimo local. Além disso,
para todo
porque
e
é crescente. Logo
é o menor valor que
atinge — é um mínimo absoluto (global).
Não existe ponto de máximo absoluto porque
e
para todo
, isto é, a função se aproxima de
mas nunca o alcança.
Resumo:
- Mínimo em
: . É mínimo relativo e também mínimo absoluto. - Não há máximo (nem local nem absoluto).
Passo 9
Derivada segunda — cálculo e explicação. Para estudar concavidade precisamos de
. Podemos derivar
usando a regra do quociente ou produto + cadeia. Vou usar a forma de quociente de modo direto (é o mesmo resultado):
Explicando: derivada do numerador
é
; derivada do denominador
é
. Simplificando o numerador:
Portanto
Aqui o denominador é sempre positivo, então o sinal de
depende do fator
.
Passo 10
Concavidade e pontos de inflexão. A concavidade depende do sinal de
.
Resolver
equivale a
, ou seja
. Assim as raízes são
Analisando o sinal:
- Para
temos então e . Logo é côncava para cima em . - Para
temos então e . Logo é côncava para baixo em .
Como
muda de sinal em
, esses pontos são pontos de inflexão. Vamos calcular as coordenadas desses pontos. Em
temos
Logo
Portanto os pontos de inflexão são:
Passo 11
Esboço do gráfico e pontos notáveis — descrição. Vou listar as coordenadas e características que devem aparecer no esboço (para você desenhar rapidamente no caderno):
Pontos e características notáveis:
- Domínio: toda reta real.
- Raiz / mínimo global:
. Em a função tem vale mínimo absoluto. - Pontos de inflexão:
, numericamente e . - Valor em
: . Derivada em : . - Comportamento para grandes
: a curva sobe (à direita) e desce simetricamente (à esquerda) aproximando-se de sem alcançá-la; essa reta é a assíntota horizontal. - Concavidade: côncava para cima entre os dois pontos de inflexão (em torno da origem), e côncava para baixo fora deles.
- Simetria: como a função é par, o gráfico é simétrico em relação ao eixo
.
Sugestão de como desenhar: desenhar o ponto
como o mínimo; desenhar dois pontos de inflexão próximos a
em altura
; passar por
; traçar a curva subindo lentamente para a direita e aproximando-se horizontalmente de
; espelhar à esquerda.
Você pode marcar no esboço as seguintes coordenadas exatas:
-
. -
e . -
. - Assíntota horizontal
.
Vai dar um gráfico com sorriso simétrico em torno do eixo
, mínimo em
, com inflexões onde a curvatura muda de para cima para para baixo, e com topo horizontal aproximado em
.
Resposta
Domínio:
.
Raiz e paridade: raiz em
;
é par.
Assíntotas verticais: não existem.
Assíntotas horizontais:
.
Crescimento/decrescimento:
é decrescente em
e crescente em
.
Extremos: mínimo absoluto e relativo em
com
. Não há máximo.
Concavidade e inflexões:
é côncava para cima em
e côncava para baixo em
. Pontos de inflexão em
.
Pontos notáveis para o esboço:
,
,
; assíntota horizontal
.