Considere a seguinte função:
.
Para esta função, resolva, sucessivamente, as seguintes questões:
- Determine o domínio de f.
- (Opcional) determine as raízes de f (se houver), e determine se f é par ou ímpar, o nenhuma destas opções.
- Obtenha as equações das assíntotas verticais ao gráfico de f, ou justifique a não existência de tais retas.
- Obtenha as equações das assíntotas horizontais ao gráfico de f, ou justifique a não existência de tais retas.
- Encontre os intervalos de crescimento e de decrescimento de f.
- Determine os valores do domínio de f de máximo ou mínimo (se houver). Ainda, determine se tais valores são absolutos ou relativos (por convenção, “relativo” significa “relativo, mas não absoluto”).
- Determine os intervalos para os quais o gráfico de f é côncavo para cima ou para baixo. Determine ainda os pontos de inflexão do gráfico de
(se houver).
- Aproveitando todas as informações coletadas nos itens anteriores esboce o gráfico de f. Deve indicar as coordenadas dos pontos notáveis obtidos nos itens anteriores.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais informações ele nos dá. A função fornecida é
definida por
As perguntas a responder, em ordem, são:
- Determine o domínio de
. - (Opcional) determine as raízes de
(se houver) e verifique se é par, ímpar ou nenhuma das opções. - Ache as equações das assíntotas verticais (ou justifique a ausência).
- Ache as equações das assíntotas horizontais (ou justifique a ausência).
- Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento de
. - Determine valores de máximo ou mínimo (se houver) e se são absolutos ou relativos.
- Determine intervalos de concavidade (côncavo para cima/baixo) e pontos de inflexão (se houver).
- Usando tudo isso, esboce o gráfico e indique coordenadas dos pontos notáveis.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função mistura uma parte racional
e uma parte com raiz quadrada . - Não há figura fornecida.
Passo 2
Determinação do domínio — por que e como:
- A expressão
exige que o argumento seja não negativo, ou seja, . - A expressão
exige que o denominador não seja zero, ou seja, .
Juntando as duas restrições: precisamos dee . Portanto o domínio é apenas os estritamente positivos.
(Observação: valores negativos de
não pertencem ao domínio porque
não é real para
.)
Passo 3
Raízes e paridade — resolver e justificar:
- Para achar raízes, resolvemos
para :
Multiplicando ambos os lados por
(válido porque
é positivo no domínio):
No lado esquerdo,
e
para todo
, logo a soma é sempre positiva; portanto não existe
que zere
. Conclusão:
- Não há raízes reais de
.
Paridade:
- Para
ser par ou ímpar seria necessário que o domínio fosse simétrico em torno de (por exemplo ), o que não ocorre: não é simétrico. Assim não faz sentido falar em par/ímpar no sentido clássico; portanto: -
não é par nem ímpar (ou, melhor dizendo, a questão de paridade não se aplica por falta de simetria do domínio).
Passo 4
Assíntotas verticais — definição e verificação:
- Uma reta vertical
é assíntota vertical se a função não estiver definida em e algum dos limites ou for .
No nosso caso o único ponto limite de fronteira do domínio é(a função não está definida em e o domínio aproxima-se de pela direita). Calculamos o limite:
Aqui
quando
, enquanto
. Logo o somatório tende a
. Portanto existe uma assíntota vertical em
. Não há outro ponto fora do domínio que gere assíntota vertical. Conclusão:
- A reta
é assíntota vertical (pela direita, já que domínio é apenas ).
Passo 5
Assíntotas horizontais — definição e verificação:
- Uma assíntota horizontal
ocorre quando ou .
Aqui o domínio não inclui valores negativos, então só faz sentido verificar. Calculemos:
Temos
e
. Portanto
quando
. Não existe um limite finito, logo:
- Não há assíntota horizontal.
Passo 6
Derivada primeira — cálculo passo a passo e interpretação para monotonicidade:
Explico as regras usadas:
Explico as regras usadas:
- Derivada de
é . - Podendo reescrever
como e como , aplicamos a regra do poder.
Reescrevendo:
Derivando termo a termo:
Ou, de forma mais legível:
Zerando a derivada para achar pontos críticos:
Multiplicando por
(positivo) ou reescrevendo em potências:
Análise de sinal de
:
- Para
escolha : é relativamente grande, mas é muito negativo; de fato numericamente dá . Logo em . - Para
escolha : e , soma positiva. Logo em .
Conclusão sobre monotonicidade:
-
é decrescente em . -
é crescente em .
Há, portanto, um ponto crítico emonde a derivada muda de negativa para positiva — isso indica mínimo local.
Passo 7
Extremos — classificação e valor:
- Avaliando
em :
Como
quando
e também
quando
, o valor
em
é o menor valor que a função assume em todo o domínio. Assim:
-
tem um mínimo absoluto (também relativo) em com valor . - Não há máximos (nem local nem absoluto), pois a função cresce para
quando afasta-se de para os dois lados do domínio.
Passo 8
Derivada segunda — concavidade e ponto de inflexão:
Calculemos a partir de
.
Derivando:
Calculemos
Derivando:
Fatorando
para facilitar achar o zero:
Como
para
, o sinal de
é o sinal do fator interior
. Colocando esse fator igual a zero:
Portanto há um ponto onde a concavidade pode mudar:
.
Análise de sinal:
- Para
: então e . Logo é côncava para cima em . - Para
: então e . Logo é côncava para baixo em .
Coordenadas do ponto de inflexão:
Simplificando a raiz:
logo
Valor numérico aproximado (para uso no esboço):
e
.
Passo 9
Resumo das informações úteis para o esboço e comportamento:
- Domínio:
. - Vertical: assíntota em
com quando . - Horizontal: nenhuma.
- Monotonicidade: decresce em
; cresce em . - Extremo: mínimo absoluto em
. - Concavidade: côncava para cima em
; côncava para baixo em . - Ponto de inflexão em
. - Limites:
, .
Com isso já temos tudo para traçar qualitativamente o gráfico: começa muito alto quandose aproxima de pela direita, desce até o mínimo em (região côncava para cima até ), depois inflecte e sobe crescentemente, porém agora côncavo para baixo, para quando .
Passo 10
Instruções rápidas para esboçar o gráfico (o rascunho que se pede):
- Marcar a assíntota vertical
. - Marcar o ponto mínimo
. - Marcar o ponto de inflexão
aproximadamente . - Traçar a curva decrescendo do
em até , com concavidade para cima até , depois passando pelo ponto de inflexão e subindo com concavidade para baixo para quando .
Resposta
Domínio:
Raízes e paridade: não há raízes; não é par nem ímpar (domínio não é simétrico)
Assíntotas verticais:
Assíntotas horizontais: nenhuma
Crescimento/decrescimento: decrescente em
; crescente em
Extremos: mínimo absoluto (e relativo) em
com
; sem máximos
Concavidade e inflexão: côncava para cima em
; côncava para baixo em
; ponto de inflexão em
Esboço (pontos notáveis indicados): assíntota vertical
; mínimo em
; inflexão em
.