Considere a seguinte função: (\mathrm{EF}-2016.1) \mathrm{g}(\mathrm{x})=\frac{1}{\mathrm{x}}+2 \sqrt{\mathrm{x}}.
Para esta função, resolva, sucessivamente, as seguintes questões:
  • Determine o domínio de f.
  • (Opcional) determine as raízes de f (se houver), e determine se f é par ou ímpar, o nenhuma destas opções.
  • Obtenha as equações das assíntotas verticais ao gráfico de f, ou justifique a não existência de tais retas.
  • Obtenha as equações das assíntotas horizontais ao gráfico de f, ou justifique a não existência de tais retas.
  • Encontre os intervalos de crescimento e de decrescimento de f.
  • Determine os valores do domínio de f de máximo ou mínimo (se houver). Ainda, determine se tais valores são absolutos ou relativos (por convenção, “relativo” significa “relativo, mas não absoluto”).
  • Determine os intervalos para os quais o gráfico de f é côncavo para cima ou para baixo. Determine ainda os pontos de inflexão do gráfico de f (se houver).
  • Aproveitando todas as informações coletadas nos itens anteriores esboce o gráfico de f. Deve indicar as coordenadas dos pontos notáveis obtidos nos itens anteriores.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais informações ele nos dá. A função fornecida é g definida por
g(x)=\frac{1}{x}+2\sqrt{x}.
As perguntas a responder, em ordem, são:
  • Determine o domínio de g.
  • (Opcional) determine as raízes de g (se houver) e verifique se g é par, ímpar ou nenhuma das opções.
  • Ache as equações das assíntotas verticais (ou justifique a ausência).
  • Ache as equações das assíntotas horizontais (ou justifique a ausência).
  • Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento de g.
  • Determine valores de máximo ou mínimo (se houver) e se são absolutos ou relativos.
  • Determine intervalos de concavidade (côncavo para cima/baixo) e pontos de inflexão (se houver).
  • Usando tudo isso, esboce o gráfico e indique coordenadas dos pontos notáveis.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função mistura uma parte racional 1/x e uma parte com raiz quadrada 2\sqrt{x}.
  • Não há figura fornecida.

Passo 2

Determinação do domínio — por que e como:
  • A expressão \sqrt{x} exige que o argumento seja não negativo, ou seja, x\ge 0.
  • A expressão 1/x exige que o denominador não seja zero, ou seja, x\neq 0.
    Juntando as duas restrições: precisamos de x\ge0 e x\neq 0. Portanto o domínio é apenas os x estritamente positivos.
\text{Dom}(g)=(0,\infty).
(Observação: valores negativos de x não pertencem ao domínio porque \sqrt{x} não é real para x<0.)

Passo 3

Raízes e paridade — resolver e justificar:
  • Para achar raízes, resolvemos g(x)=0 para x\in(0,\infty):
\frac{1}{x}+2\sqrt{x}=0.
Multiplicando ambos os lados por x>0 (válido porque x é positivo no domínio):
1+2x\sqrt{x}=0.
No lado esquerdo, 1>0 e 2x\sqrt{x}>0 para todo x>0, logo a soma é sempre positiva; portanto não existe x>0 que zere g. Conclusão:
  • Não há raízes reais de g.
Paridade:
  • Para g ser par ou ímpar seria necessário que o domínio fosse simétrico em torno de 0 (por exemplo (-a,a)), o que não ocorre: \text{Dom}(g)=(0,\infty) não é simétrico. Assim não faz sentido falar em par/ímpar no sentido clássico; portanto:
  • g não é par nem ímpar (ou, melhor dizendo, a questão de paridade não se aplica por falta de simetria do domínio).

Passo 4

Assíntotas verticais — definição e verificação:
  • Uma reta vertical x=a é assíntota vertical se a função não estiver definida em a e algum dos limites \lim_{x\to a^-} g(x) ou \lim_{x\to a^+} g(x) for \pm\infty.
    No nosso caso o único ponto limite de fronteira do domínio é x=0 (a função não está definida em 0 e o domínio aproxima-se de 0 pela direita). Calculamos o limite:
\lim_{x\to0^+} g(x)=\lim_{x\to0^+}\left(\frac{1}{x}+2\sqrt{x}\right).
Aqui \dfrac{1}{x}\to +\infty quando x\to 0^+, enquanto 2\sqrt{x}\to 0. Logo o somatório tende a +\infty. Portanto existe uma assíntota vertical em x=0. Não há outro ponto fora do domínio que gere assíntota vertical. Conclusão:
  • A reta x=0 é assíntota vertical (pela direita, já que domínio é apenas (0,\infty)).

Passo 5

Assíntotas horizontais — definição e verificação:
  • Uma assíntota horizontal y=L ocorre quando \lim_{x\to\infty} g(x)=L ou \lim_{x\to -\infty} g(x)=L.
    Aqui o domínio não inclui valores negativos, então só faz sentido verificar x\to\infty. Calculemos:
\lim_{x\to\infty} g(x)=\lim_{x\to\infty}\left(\frac{1}{x}+2\sqrt{x}\right).
Temos \dfrac{1}{x}\to 0 e 2\sqrt{x}\to\infty. Portanto g(x)\to\infty quando x\to\infty. Não existe um limite finito, logo:
  • Não há assíntota horizontal.

Passo 6

Derivada primeira — cálculo passo a passo e interpretação para monotonicidade:
Explico as regras usadas:
  • Derivada de x^{n} é n x^{n-1}.
  • Podendo reescrever 1/x como x^{-1} e \sqrt{x} como x^{1/2}, aplicamos a regra do poder.
Reescrevendo:
g(x)=x^{-1}+2x^{1/2}.
Derivando termo a termo:
g'(x) = -1\cdot x^{-2} + 2\cdot\frac{1}{2} x^{-1/2} = -x^{-2} + x^{-1/2}.
Ou, de forma mais legível:
g'(x) = -\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{\sqrt{x}}.
Zerando a derivada para achar pontos críticos:
-\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{\sqrt{x}} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{1}{x^{2}}.
Multiplicando por x^{2}\sqrt{x} (positivo) ou reescrevendo em potências:
x^{-1/2}=x^{-2}\quad\Longrightarrow\quad x^{3/2}=1\quad\Longrightarrow\quad x=1.
Análise de sinal de g':
  • Para 0<x<1 escolha x=1/4: \dfrac{1}{\sqrt{x}} é relativamente grande, mas -\dfrac{1}{x^{2}} é muito negativo; de fato numericamente dá g'(1/4)=-16+2=-14<0. Logo g'<0 em (0,1).
  • Para x>1 escolha x=4: -\dfrac{1}{x^{2}}=-\tfrac{1}{16} e \dfrac{1}{\sqrt{x}}=\tfrac{1}{2}, soma positiva. Logo g'>0 em (1,\infty).
Conclusão sobre monotonicidade:
  • g é decrescente em (0,1).
  • g é crescente em (1,\infty).
    Há, portanto, um ponto crítico em x=1 onde a derivada muda de negativa para positiva — isso indica mínimo local.

Passo 7

Extremos — classificação e valor:
  • Avaliando g em x=1:
g(1)=\frac{1}{1}+2\sqrt{1}=1+2=3.
Como g(x)\to+\infty quando x\to0^+ e também g(x)\to+\infty quando x\to\infty, o valor 3 em x=1 é o menor valor que a função assume em todo o domínio. Assim:
  • g tem um mínimo absoluto (também relativo) em x=1 com valor g(1)=3.
  • Não há máximos (nem local nem absoluto), pois a função cresce para +\infty quando x afasta-se de 1 para os dois lados do domínio.

Passo 8

Derivada segunda — concavidade e ponto de inflexão:
Calculemos g''(x) a partir de g'(x)=-x^{-2}+x^{-1/2}.
Derivando:
g''(x)=2x^{-3}-\tfrac{1}{2}x^{-3/2}.
Fatorando x^{-3} para facilitar achar o zero:
g''(x)=x^{-3}\!\left(2-\tfrac{1}{2}x^{3/2}\right).
Como x^{-3}>0 para x>0, o sinal de g''(x) é o sinal do fator interior 2-\tfrac{1}{2}x^{3/2}. Colocando esse fator igual a zero:
2-\tfrac{1}{2}x^{3/2}=0 \quad\Longrightarrow\quad x^{3/2}=4 \quad\Longrightarrow\quad x=4^{2/3}=2^{4/3}.
Portanto há um ponto onde a concavidade pode mudar: x=2^{4/3}.
Análise de sinal:
  • Para 0<x<2^{4/3}: x^{3/2}<4 então 2-\tfrac{1}{2}x^{3/2}>0 e g''(x)>0. Logo g é côncava para cima em (0,2^{4/3}).
  • Para x>2^{4/3}: x^{3/2}>4 então 2-\tfrac{1}{2}x^{3/2}<0 e g''(x)<0. Logo g é côncava para baixo em (2^{4/3},\infty).
Coordenadas do ponto de inflexão:
x_{\text{inf}}=2^{4/3},\qquad g(x_{\text{inf}})=\frac{1}{2^{4/3}}+2\sqrt{2^{4/3}}.
Simplificando a raiz:
\sqrt{2^{4/3}}=2^{2/3},
logo
g(2^{4/3})=2^{-4/3}+2\cdot 2^{2/3}=2^{-4/3}+2^{5/3}.
Valor numérico aproximado (para uso no esboço): 2^{4/3}\approx 2{,}52 e g(2^{4/3})\approx 3{,}572.

Passo 9

Resumo das informações úteis para o esboço e comportamento:
  • Domínio: (0,\infty).
  • Vertical: assíntota em x=0 com g(x)\to+\infty quando x\to0^+.
  • Horizontal: nenhuma.
  • Monotonicidade: decresce em (0,1); cresce em (1,\infty).
  • Extremo: mínimo absoluto em (1,3).
  • Concavidade: côncava para cima em (0,2^{4/3}); côncava para baixo em (2^{4/3},\infty).
  • Ponto de inflexão em \bigl(2^{4/3},\,2^{-4/3}+2^{5/3}\bigr)\approx(2{,}52,\,3{,}572).
  • Limites: \lim_{x\to 0^+} g(x)=+\infty, \lim_{x\to\infty} g(x)=+\infty.
    Com isso já temos tudo para traçar qualitativamente o gráfico: começa muito alto quando x se aproxima de 0 pela direita, desce até o mínimo em (1,3) (região côncava para cima até x\approx2{,}52), depois inflecte e sobe crescentemente, porém agora côncavo para baixo, para +\infty quando x\to\infty.

Passo 10

Instruções rápidas para esboçar o gráfico (o rascunho que se pede):
  • Marcar a assíntota vertical x=0.
  • Marcar o ponto mínimo (1,3).
  • Marcar o ponto de inflexão \bigl(2^{4/3},\,2^{-4/3}+2^{5/3}\bigr) aproximadamente (2{,}52,\,3{,}57).
  • Traçar a curva decrescendo do +\infty em x\to0^+ até (1,3), com concavidade para cima até x\approx2{,}52, depois passando pelo ponto de inflexão e subindo com concavidade para baixo para +\infty quando x\to\infty.

Resposta

Domínio: (0,\infty)
Raízes e paridade: não há raízes; não é par nem ímpar (domínio não é simétrico)
Assíntotas verticais: x=0
Assíntotas horizontais: nenhuma
Crescimento/decrescimento: decrescente em (0,1); crescente em (1,\infty)
Extremos: mínimo absoluto (e relativo) em x=1 com g(1)=3; sem máximos
Concavidade e inflexão: côncava para cima em (0,2^{4/3}); côncava para baixo em (2^{4/3},\infty); ponto de inflexão em \bigl(2^{4/3},\,2^{-4/3}+2^{5/3}\bigr)\approx(2{,}52,\,3{,}572)
Esboço (pontos notáveis indicados): assíntota vertical x=0; mínimo em (1,3); inflexão em \bigl(2^{4/3},\,2^{-4/3}+2^{5/3}\bigr).

Exercícios relacionados