1. Um tubo de vidro na posição vertical contém duas esferas iguais A e B, de massas 1,0.10^{-4} \mathrm{~kg}. A esfera A é fixada no fundo do tubo enquanto B pode subir ou descer dentro do tubo, acima de A. Quando a carga \mathrm{q}=-4,0.10^{-8} \mathrm{C} é colocada em cada esfera, a esfera B permanece suspensa, em equilíbrio, acima de A, a uma distância h. Desprezando o atrito com as paredes de vidro e a atração gravitacional entre as esferas, calcule o valor de h.
    Considere: \mathrm{g}=10,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, \mathrm{~K}_{0}=9.10^{9} \mathrm{~N} . \mathrm{m}^{2} / \mathrm{C}^{2}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a distância \,h entre as esferas A e B quando B fica em equilíbrio suspensa acima de A.
Dados fornecidos (vou listá-los exatamente como vêm do enunciado):
m = 1{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{kg}
q = -4{,}0\times10^{-8}\\ \mathrm{C}\quad\text{(cada esfera tem essa carga)}
g = 10{,}0\\ \mathrm{m/s^{2}}
K_{0} = 9{,}0\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}}
Condições explícitas do enunciado que vamos usar:
  • Desprezar atrito com as paredes do tubo.
  • Desprezar atração gravitacional entre as esferas (ou seja, a única interação entre elas considerada é a elétrica).
  • As duas cargas são iguais e negativas, portanto as esferas se repelem.

Passo 2

Identificar forças atuando na esfera B quando ela está em equilíbrio vertical sobre A.
Explicando de forma simples:
  • A gravidade puxa B para baixo com força peso igual a \,m g. Aqui m é a massa de B e g a aceleração da gravidade.
  • A esfera A e B têm cargas iguais e negativas, então a força elétrica entre elas é de repulsão, dirigida de A para B, ou seja, atua para cima sobre B. O módulo dessa força elétrica é dado pela Lei de Coulomb.
Vou escrever a expressão da força peso e da força elétrica para ficar claro:
\text{força peso: }F_{\text{peso}} = m gç
\text{força elétrica (Coulomb): }F_{\text{el}} = K_{0}\,\frac{q^{2}}{h^{2}}çé
Aqui:
  • K_{0} é a constante eletrostática dada.
  • q é o valor da carga em cada esfera (usei q^{2} porque a fórmula usa o produto das duas cargas e as duas são iguais).
  • h é a distância entre as esferas (centro a centro, conforme o enunciado implícito), que é o que queremos encontrar.

Passo 3

Escrever a condição de equilíbrio vertical e justificar por que ela vale.
Quando B está em equilíbrio suspensa, a soma das forças verticais sobre ela é zero. Como só há duas forças verticais relevantes (o peso para baixo e a força elétrica para cima), a condição de equilíbrio é:
F_{\text{el}} - F_{\text{peso}} = 0
ou, em módulo,
K_{0}\,\frac{q^{2}}{h^{2}} = m g.
Isso significa: a intensidade da repulsão elétrica para cima equilibra exatamente o peso para baixo.

Passo 4

Isolar h na equação de equilíbrio.
A partir de
K_{0}\,\frac{q^{2}}{h^{2}} = m g,
multiplicamos ambos os lados por h^{2} e dividimos por m g para obter h^{2}:
h^{2} = \frac{K_{0}\,q^{2}}{m g}.
Tomando raiz quadrada em ambos os lados (e tomando a raiz positiva porque h é uma distância):
h = \sqrt{\frac{K_{0}\,q^{2}}{m g}}.

Passo 5

Explicar as unidades e por que a fórmula dá metro.
Verificação rápida das unidades (só para ter certeza): K_{0} tem unidades \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}}, multiplicando por q^{2} (unidade \mathrm{C^{2}}) dá \mathrm{N\cdot m^{2}}. Dividindo por m g (unidade \mathrm{N}) sobra \mathrm{m^{2}}. A raiz dá \mathrm{m}, ou seja, uma distância — perfeito.

Passo 6

Substituir os valores numéricos e calcular passo a passo (sem pular contas).
Primeiro calcule q^{2}:
q^{2} = \left(4{,}0\times10^{-8}\right)^{2} = 16{,}0\times10^{-16} = 1{,}6\times10^{-15}.
Calcular o numerador K_{0}\,q^{2}:
K_{0}\,q^{2} = \left(9{,}0\times10^{9}\right)\left(1{,}6\times10^{-15}\right) = 14{,}4\times10^{-6} = 1{,}44\times10^{-5}.
Calcular o denominador m g:
m g = \left(1{,}0\times10^{-4}\right)\left(10{,}0\right) = 1{,}0\times10^{-3}.
Agora dividir:
\frac{K_{0}\,q^{2}}{m g} = \frac{1{,}44\times10^{-5}}{1{,}0\times10^{-3}} = 1{,}44\times10^{-2} = 0{,}0144.
Finalmente, tirar a raiz quadrada:
h = \sqrt{0{,}0144} = 0{,}12\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Interpretar o resultado e dar a resposta em unidades usuais.
\,0{,}12\\ \mathrm{m} corresponde a 12\\ \mathrm{cm}. Faz sentido físico: cargas pequenas, mas constante de Coulomb grande, produzem uma força suficiente para equilibrar o peso de uma esfera leve a uma distância da ordem de centímetros.

Resposta

0{,}12\\ \mathrm{m}

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