Um tubo de vidro vertical de comprimento 1,28 m está cheio até a metade com um líquido a 20^circ C. De quanto a altura do líquido no tubo varia quando o tubo é aquecido para 30^circ C ? Suponha que alpha vidro =1,0 times 10^-5 K^-1 e beta líquido =1,3 times 10^-4 K^-1í Resp.: 1,3 times 10^-4 m

Passo 1

O enunciado dá um tubo de vidro de comprimento L0=1,28,m, cheio até a metade com um líquido à temperatura inicial T0=20,^circC. Queremos saber em quanto varia a altura do líquido quando aquecemos o conjunto até T=30,^circC. O conteúdo de matéria é dilatação térmica: o líquido se dilata volumetricamente com coeficiente betarm líq=1,3times10^-4,K^-1í e o vidro sofre dilatação linear com coeficiente alpharm vid=1,0times10^-5,K^-1. Para resolver, vamos:
  1. Calcular a altura inicial do líquido h0.
  2. Ver como varia o volume do líquido.
  3. Ver como varia a área da seção interna do tubo.
  4. Relacionar o novo volume com a nova área para achar a nova altura.
  5. Extrair a variação De<a h.

Passo 2

A altura inicial do líquido é metade do tubo:
h0=L02=1,282=0,64 m

Passo 3

Quando aquecemos de 20,^circC para 30,^circC, a variação de temperatura é
De<a T = 30 - 20 = 10 K
O volume do líquido inicial é V0=A0,h0. Após aquecimento, o volume do líquido passa a
Vrm líq = V0l(1 + betarm líq,De<a Tr) = A0,h0l(1 + betarm líq,De<a Tr) ííí

Passo 4

O tubo de vidro dilata linearmente em todas as direções, logo sua área de seção interna varia como
A = A0l(1 + 2,alpharm vid,De<a Tr)
A nova altura do líquido h satisfaz
Vrm líq = A , h Longrightarrow h = Vrm líqA = A0,h0l(1 + betarm líq,De<a Tr) A0l(1 + 2,alpharm vid,De<a Tr) = h0, 1 + betarm líq,De<a T 1 + 2,alpharm vid,De<a T íííí
Para pequenas dilatações, usamos a expansão de Taylor de primeira ordem:
1 + beta,De<a T1 + 2alpha,De<a T approx 1 + (beta - 2alpha),De<a T
Logo
h approx h0l[1 + (betarm líq-2alpharm vid),De<a Tr] í

Passo 5

A variação de altura é
De<a h = h - h0 approx h0,(betarm líq-2alpharm vid),De<a T í
Substituindo os valores:
betarm líq-2alpharm vid =1,3times10^-4-2times1,0times10^-5 =1,1times10^-4,K^-1, í
De<a h =0,64times1,1times10^-4times10 =0,64times1,1times10^-3 =0,000704 m

Resposta

A altura do líquido aumenta aproximadamente
De<a h approx 7,04times10^-4 m

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