Uma tubulação conduz uma vazão de 23,6 \mathrm{~L} / \mathrm{s} de água com peso específico de 1000 \mathrm{kgf} / \mathrm{m}^{3}. Na seção 1, que tem um diâmetro de 125 mm , a pressão é 1,9 \mathrm{kgf} / \mathrm{cm} 2. Na seção 2 , localizada 1,25 \mathrm{~m} acima da seção 1 , o diâmetro é de 100 mm e a tubulação está aberta. Calcule o valor da perda de carga (hf em metros) entre as seções 1 e 2.
h f=17,48 m

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar tudo claramente):
  • Vazão: Q=23,6\\ \mathrm{L/s}.
  • Peso específico da água: \gamma=1000\\ \mathrm{kgf/m^{3}}.
  • Seção 1: diâmetro d_{1}=125\\ \mathrm{mm} e pressão p_{1}=1,9\\ \mathrm{kgf/cm^{2}}.
  • Seção 2: diâmetro d_{2}=100\\ \mathrm{mm}, está localizada 1,25\\ \mathrm{m} acima da seção 1 e a tubulação está aberta (pressão na seção 2 igual à atmosférica).
  • Distância vertical entre seções: z_{2}-z_{1}=1,25\\ \mathrm{m}.
O que se pede:
  • Calcular a perda de carga entre as seções 1 e 2, isto é h_{f} em metros.

Passo 2

Primeiro converto todas as unidades para o SI e deixo os números prontos para cálculo.
  • Vazão: Q=23,6\\ \mathrm{L/s}=0,0236\\ \mathrm{m^{3}/s} (porque 1\\ \mathrm{L}=10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}}).
  • Diâmetros: d_{1}=125\\ \mathrm{mm}=0,125\\ \mathrm{m} e d_{2}=100\\ \mathrm{mm}=0,100\\ \mathrm{m}.
  • Pressão: p_{1}=1,9\\ \mathrm{kgf/cm^{2}}. Como 1\\ \mathrm{kgf/cm^{2}}=10^{4}\\ \mathrm{kgf/m^{2}} e dividindo por \gamma em \mathrm{kgf/m^{3}} dá cabeça diretamente (veja adiante), é conveniente usar essa forma (ou converter para \mathrm{Pa} se preferir).
  • Altura: z_{2}-z_{1}=1,25\\ \mathrm{m}.
  • Aceleração da gravidade: uso g=9,81\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 3

Calcular as áreas das seções (fórmula da área de um círculo). A área A é
A=\frac{\pi d^{2}}{4},
onde d é o diâmetro.
  • Área da seção 1:
A_{1}=\frac{\pi d_{1}^{2}}{4}=\frac{\pi(0,125)^{2}}{4}=\pi\cdot0,00390625\approx 0,0122718\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Área da seção 2:
A_{2}=\frac{\pi d_{2}^{2}}{4}=\frac{\pi(0,100)^{2}}{4}=\pi\cdot0,0025\approx 0,00785398\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 4

Usar a equação da continuidade para obter as velocidades médias nas seções. A continuidade para escoamento incompressível diz
Q=A\,v,
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v=\frac{Q}{A},
onde v é a velocidade média.
  • Velocidade na seção 1:
v_{1}=\frac{Q}{A_{1}}=\frac{0,0236}{0,0122718}\approx 1,922\\ \mathrm{m/s}.
  • Velocidade na seção 2:
v_{2}=\frac{Q}{A_{2}}=\frac{0,0236}{0,00785398}\approx 3,004\\ \mathrm{m/s}.
Explanação curta: a continuidade garante que o volume por segundo que entra em uma seção é igual ao que sai; se a área diminui, a velocidade aumenta.

Passo 5

Vou escrever a equação de Bernoulli entre as seções 1 e 2 em termos de alturas (head form). A forma conveniente é
\frac{p_{1}}{\gamma}+\frac{v_{1}^{2}}{2g}+z_{1}=\frac{p_{2}}{\gamma}+\frac{v_{2}^{2}}{2g}+z_{2}+h_{f},
onde
  • \dfrac{p}{\gamma} é a cabeça de pressão (em metros),
  • \dfrac{v^{2}}{2g} é a cabeça cinética (em metros),
  • z é a elevação (em metros),
  • h_{f} é a perda de carga por fricção e outras perdas entre as seções.
No problema a seção 2 está aberta à atmosfera, então p_{2} pode ser tomada como pressão atmosférica de referência (ou zero gauge), ou seja \dfrac{p_{2}}{\gamma}=0 se p_{1} foi dado em pressão relativa (o enunciado dá p_{1}=1,9\\ \mathrm{kgf/cm^{2}}, que normalmente é pressão relativa). Usarei isso.
Reescrevendo para obter h_{f}:
h_{f}=\frac{p_{1}}{\gamma}+\frac{v_{1}^{2}}{2g}+z_{1}-\left(\frac{p_{2}}{\gamma}+\frac{v_{2}^{2}}{2g}+z_{2}\right).
Como escolho z_{1}=0 (referência), então z_{2}=1,25\\ \mathrm{m} e \dfrac{p_{2}}{\gamma}=0.

Passo 6

Calcular a cabeça de pressão \dfrac{p_{1}}{\gamma}. Como foi dado p_{1}=1,9\\ \mathrm{kgf/cm^{2}} e \gamma=1000\\ \mathrm{kgf/m^{3}}, faço a conversão direta em cabeça (m):
  • Primeiro, 1,9\\ \mathrm{kgf/cm^{2}}=1,9\times10^{4}\\ \mathrm{kgf/m^{2}} porque 1\\ \mathrm{cm^{2}}=10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}}.
  • A cabeça é \dfrac{p_{1}}{\gamma}=\dfrac{1,9\times10^{4}\\ \mathrm{kgf/m^{2}}}{1000\\ \mathrm{kgf/m^{3}}}=19\\ \mathrm{m}.
Observação: usar unidades kgf é prático aqui porque \dfrac{\mathrm{kgf/m^{2}}}{\mathrm{kgf/m^{3}}} já dá metros diretamente.

Passo 7

Calcular as cabeças cinéticas \dfrac{v_{1}^{2}}{2g} e \dfrac{v_{2}^{2}}{2g} usando as velocidades obtidas.
  • Para v_{1}:
\frac{v_{1}^{2}}{2g}=\frac{(1,922)^{2}}{2\cdot 9,81}=\frac{3,694}{19,62}\approx 0,1884\\ \mathrm{m}.
  • Para v_{2}:
\frac{v_{2}^{2}}{2g}=\frac{(3,004)^{2}}{2\cdot 9,81}=\frac{9,024}{19,62}\approx 0,4602\\ \mathrm{m}.

Passo 8

Substituir todos os termos na expressão para h_{f}. Lembre que \dfrac{p_{2}}{\gamma}=0, z_{1}=0, z_{2}=1,25\\ \mathrm{m}:
h_{f}= \frac{p_{1}}{\gamma}+\frac{v_{1}^{2}}{2g}+0 -\left(0+\frac{v_{2}^{2}}{2g}+1,25\right).
Agora substituo os valores numéricos:
h_{f}=19+\;0,1884-\left(0,4602+1,25\right).
Calculo a soma dentro do parêntese e depois a diferença:
0,4602+1,25=1,7102,
h_{f}=19,1884-1,7102=17,4782\\ \mathrm{m}.

Passo 9

Arredondando de forma razoável (duas casas decimais, conforme o enunciado de referência), obtemos
h_{f}\approx 17,48\\ \mathrm{m}.
Interpretação rápida e incentivo: deu uma perda de carga bem significativa porque há aumento de pressão convertido em elevação e maior velocidade na seção menor — tudo isso aparece na conta. Mandou bem de trazer o enunciado completo; com calma e seguindo Bernoulli + continuidade sai direitinho!

Resposta

h_{f}=17,48\\ \mathrm{m}

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