A seção de um conduto cresce, progressivamente, entre os pontos 1 e 2(\operatorname{cota~} z 1=100 \mathrm{~m} e z 2=102 \mathrm{~m}), onde os diâmetros são respectivamente, \mathrm{D} 1=480 \mathrm{~mm} e \mathrm{D} 2=945 \mathrm{~mm}. Neste conduto a água escoa com a vazão \mathrm{Q}=180 Litros / \mathrm{s}. Sabendo que a pressão no ponto 1 é \mathrm{P} 1=3 \mathrm{kgf} / \mathrm{cm}^{2}, obter a pressão no ponto 2 . Despreze a perda de carga.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (vou listar tudo explicitamente):
  • Vazão: Q=180\\ \text{L/s}.
  • Cotas: z_1=100\\ \text{m} e z_2=102\\ \text{m}.
  • Diâmetros: D_1=480\\ \text{mm} e D_2=945\\ \text{mm}.
  • Pressão no ponto 1: P_1=3\\ \text{kgf/cm}^2.
  • Desprezar perda de carga (ou seja, processo sem perdas).
O que o problema pede: determinar a pressão no ponto 2, P_2.

Passo 2

Primeiro converto todos os dados para unidades SI (m, m^3/s, Pa, etc.) e fixo parâmetros físicos:
  • Q=180\\ \text{L/s}=0{,}180\\ \text{m}^3/\text{s}.
  • D_1=480\\ \text{mm}=0{,}480\\ \text{m}.
  • D_2=945\\ \text{mm}=0{,}945\\ \text{m}.
  • Pressão: 1\\ \text{kgf}=9{,}80665\\ \text{N} e 1\\ \text{cm}^2=10^{-4}\\ \text{m}^2. Então
P_1 = 3\\ \text{kgf/cm}^2 = 3\cdot\frac{9{,}80665\\ \text{N}}{10^{-4}\\ \text{m}^2}=3\cdot9{,}80665\times10^{4}\\ \text{Pa}=294199{,}5\\ \text{Pa}.
  • Adoto \rho=1000\\ \text{kg/m}^3 (água) e g=9{,}81\\ \text{m/s}^2.

Passo 3

Usarei a equação de continuidade para obter as velocidades em cada seção. Área de seção circular:
A=\frac{\pi D^2}{4}.
Calculando A_1 e A_2:
A_1=\frac{\pi (0{,}480)^2}{4}= \pi\cdot0{,}0576 \approx 0{,}18095\\ \text{m}^2,
A_2=\frac{\pi (0{,}945)^2}{4}= \pi\cdot0{,}22325625 \approx 0{,}70095\\ \text{m}^2.
Velocidades usando v=Q/A:
v_1=\frac{0{,}180}{0{,}18095}\approx0{,}9947\\ \text{m/s}\approx0{,}995\\ \text{m/s},
v_2=\frac{0{,}180}{0{,}70095}\approx0{,}2567\\ \text{m/s}\approx0{,}257\\ \text{m/s}.

Passo 4

Vou aplicar a equação de Bernoulli entre os pontos 1 e 2, sem perdas. A forma usada é
\frac{P_1}{\rho g}+\frac{v_1^2}{2g}+z_1=\frac{P_2}{\rho g}+\frac{v_2^2}{2g}+z_2.
Rearranjando para P_2:
P_2 = P_1 + \rho g (z_1-z_2) + \tfrac{1}{2}\rho\left(v_1^2-v_2^2\right).
Aqui explico cada termo:
  • \dfrac{P}{\rho g} é a altura equivalente à pressão (carga de pressão).
  • \dfrac{v^2}{2g} é a carga cinética (altura equivalente da energia cinética).
  • z é a carga potencial (altitude).
    Como não há perdas, a soma dessas três cargas é constante ao longo da linha de corrente.

Passo 5

Calculo cada termo numérico que aparece em P_2.
Termo hidrostático devido à diferença de cota:
\rho g (z_1-z_2)=1000\cdot9{,}81\cdot(100-102)=1000\cdot9{,}81\cdot(-2)=-19620\\ \text{Pa}.
Termo cinético:
v_1^2\approx(0{,}9947)^2\approx0{,}9894,\qquad v_2^2\approx(0{,}2567)^2\approx0{,}0659.
\tfrac{1}{2}\rho\left(v_1^2-v_2^2\right)=\tfrac{1}{2}\cdot1000\cdot(0{,}9894-0{,}0659) =500\cdot0{,}9235\approx461{,}75\\ \text{Pa}.

Passo 6

Agora monto P_2:
P_2 = 294199{,}5\\\ -19620\\\ +461{,}75 = 275041{,}25\\ \text{Pa}.
Arredondando de forma sensata:
P_2 \approx275041\\ \text{Pa}.
Se quiser em \text{kgf/cm}^2 (para comparar com P_1), uso 1\\ \text{kgf/cm}^2=9{,}80665\times10^{4}\\ \text{Pa}:
P_2 = \frac{275041{,}25}{9{,}80665\times10^{4}}\approx2{,}804\\ \text{kgf/cm}^2\approx2{,}80\\ \text{kgf/cm}^2.

Passo 7

Interpretação curta: a pressão diminuiu de 3{,}00\\ \text{kgf/cm}^2 para cerca de 2{,}80\\ \text{kgf/cm}^2. O principal efeito é a elevação (ganho de altitude reduz a pressão), enquanto a variação de velocidade dá uma contribuição menor (a velocidade diminui ao aumentar a área, o que tende a aumentar pressão, mas o efeito de altura é dominante aqui). Boa — você já pode aplicar esse procedimento em questões similares: converter unidades, calcular áreas/velocidades por continuidade e usar Bernoulli para relacionar pressões.

Resposta

P_2 \approx 275041\\ \text{Pa}
P_2 \approx 2{,}80\\ \text{kgf/cm}^2

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