Uma tubulação de ferro fundido tem 10 cm de diâmetro e nele escoa ar a 4 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h} à temperatura de 25^{\circ} \mathrm{C} e pressão de 100 kPa , considerando-se o ar como gás perfeito e incompressível determine qual o tipo de escoamento e o fator de atrito. Dados: \mu_{\mathrm{ar}}=1,85 \times 10-5 \mathrm{~Pa} \_\mathrm{s} ; \mathrm{R}_{\mathrm{ar}}=0,287 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kgK}.

Passo 1

O que o problema pede:
  • Determinar o tipo de escoamento (laminar, transição ou turbulento).
  • Determinar o fator de atrito (assumindo a definição usual do fator de atrito usado na equação de Darcy–Weisbach).
Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
  • Diâmetro da tubulação: D=0,10\\ \mathrm{m}.
  • Vazão volumétrica: Q=4\\ \mathrm{m^{3}/h}.
  • Temperatura: T=25^\circ\mathrm{C}.
  • Pressão: p=100\\ \mathrm{kPa}.
  • Viscosidade dinâmica do ar: \mu_{\mathrm{ar}}=1{,}85\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
  • Constante dos gases do ar: R_{\mathrm{ar}}=0{,}287\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}=287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
O enunciado pede resultado numérico (tipo de escoamento e valor do fator de atrito) sem pedir outro método específico.

Passo 2

Converter unidades e calcular velocidade média no tubo.
  1. Converter vazão para \mathrm{m^3/s}:
Q=\frac{4\\ \mathrm{m^{3}}}{3600\\ \mathrm{s}}=0{,}0011111\overline{1}\\ \mathrm{m^{3}/s}\approx0{,}0011111\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  1. Área da seção transversal (círculo) e velocidade média \overline{V}:
A=\frac{\pi D^{2}}{4}=\frac{\pi(0{,}10)^{2}}{4}=\pi\cdot0{,}0025\approx0{,}007854\\ \mathrm{m^{2}}.
\overline{V}=\frac{Q}{A}\approx\frac{0{,}0011111}{0{,}007854}\approx0{,}1415\\ \mathrm{m/s}.
Explicação rápida (para a prova): a velocidade média é a vazão dividida pela área. Cuidar sempre das unidades ao dividir.

Passo 3

Determinar a densidade do ar usando a equação dos gases perfeitos (o enunciado indicou considerar o ar como gás perfeito). A equação é
p=\rho R T \quad\Longrightarrow\quad \rho=\frac{p}{R T},
onde \rho é a densidade em \mathrm{kg/m^{3}}, p em \mathrm{Pa}, R em \mathrm{J/(kg\cdot K)} e T em \mathrm{K}.
Converter temperatura para Kelvin:
T=25^\circ\mathrm{C}=25+273{,}15=298{,}15\\ \mathrm{K}.
Calcular \rho:
\rho=\frac{100000}{287\cdot298{,}15}\approx\frac{100000}{85569{,}05}\approx1{,}1689\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
Dica didática: sempre verifique unidades — R foi convertido para \mathrm{J/(kg\cdot K)} para ficar consistente com p em Pa.

Passo 4

Calcular o número de Reynolds e decidir o regime de escoamento. Definição:
\mathrm{Re}=\frac{\rho\,\overline{V}\,D}{\mu},
onde \rho é a densidade, \overline{V} a velocidade média, D o diâmetro e \mu a viscosidade dinâmica.
Substituindo os valores:
\mathrm{Re}\approx\frac{1{,}1689\cdot0{,}1415\cdot0{,}10}{1{,}85\times10^{-5}} =\frac{0{,}01654}{1{,}85\times10^{-5}}\approx894{,}.
Interpretação (regra prática para tubos circulares):
  • Se \mathrm{Re}<2300: escoamento laminar.
  • Se 2300\le\mathrm{Re}\le4000: região de transição.
  • Se \mathrm{Re}>4000: escoamento turbulento.
Aqui \mathrm{Re}\approx894<2300, portanto o escoamento é laminar.
Observação útil para prova: também pode usar \nu=\mu/\rho (viscosidade cinemática) e \mathrm{Re}=\overline{V}D/\nu; dá o mesmo resultado.

Passo 5

Calcular o fator de atrito. Para escoamento laminar totalmente desenvolvido em tubulação circular a fórmula analítica (lei clássica) para o fator de atrito de Darcy é
f=\frac{64}{\mathrm{Re}}.
Essa é uma fórmula derivada da solução de Poiseuille para escoamento laminar em tubo.
Aplicando:
f=\frac{64}{894}\approx0{,}0716.
Observação didática: esse f é o fator de atrito usado na equação de Darcy–Weisbach
\Delta p = f\frac{L}{D}\frac{\rho \overline{V}^{2}}{2},
então é o fator que aparece na perda de carga por atrito. Cuidado: o fator de Fanning usado em alguns livros é f_{\mathrm{Fanning}}=f/4.

Passo 6

Cheque rápido da hipótese “incompressível”: calcular número de Mach bruto para ver se as variações de densidade por compressibilidade são negligenciáveis.
Velocidade do som aproximada no ar:
a\approx\sqrt{\gamma R T}\quad\text{com }\gamma\approx1{,}4.
a\approx\sqrt{1{,}4\cdot287\cdot298{,}15}\approx346\\ \mathrm{m/s}.
Número de Mach:
\mathrm{Ma}=\frac{\overline{V}}{a}\approx\frac{0{,}1415}{346}\approx4{,}1\times10^{-4},
muito pequeno, logo a aproximação incompressível é absolutamente válida — justificativa a apresentar se o professor questionar.

Resposta

Tipo de escoamento: laminar (pois \mathrm{Re}\approx894<2300).
Fator de atrito (Darcy): f\approx0{,}0716.

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