P10.20 Um tubo de esgoto de concreto sem acabamento, com 4 pés de diâmetro, cheio até a metade, transporta 39.500 galões americanos por minuto. Se essa é a profundidade normal, qual é a declividade do tubo, em graus?
Passo 1
O enunciado dá estas informações:
- Diâmetro do tubo:
. - O tubo está cheio até a metade (profundidade normal = metade do diâmetro).
- Vazão:
.
A pergunta: qual é a declividade do tubo, em graus? (ou seja, o ânguloentre o eixo do tubo e a horizontal).
Passo 2
Primeiro converto a vazão para unidades compatíveis com a fórmula de Manning (pés cúbicos por segundo).
Usarei . Então
Usarei
Calculemos numericamente:
Passo 3
Apresento a fórmula de Manning (unidades inglesas):
onde
-
é a vazão em ; -
é o coeficiente de rugosidade de Manning (adimensional); -
é a área molhada ( ); -
é o raio hidráulico, ( ), com perímetro molhado ( ); -
é a declividade (gradiente da linha de energia), adimensional; a inclinação em graus será .
Para concreto sem acabamento costuma-se usar
. Vou adotar
(valor típico em tabelas).
Passo 4
Calculo a área molhada
para um tubo circular meio cheio. A área total do círculo é
Como está meio cheio, a área molhada é metade da área total:
Com
:
Passo 5
O perímetro molhado
para meio círculo é metade da circunferência:
Com
:
Assim o raio hidráulico é
(Belo resultado: para meio-tubo circular com
,
.)
Passo 6
Agora isolamos
na equação de Manning. Como
, tem-se
e
Substituindo os valores (
,
,
):
Faço as contas em etapas:
Passo 7
Por fim converto a declividade adimensional
em ângulo em graus. A inclinação em radianos é
; em graus:
Substituindo
: