P10.20 Um tubo de esgoto de concreto sem acabamento, com 4 pés de diâmetro, cheio até a metade, transporta 39.500 galões americanos por minuto. Se essa é a profundidade normal, qual é a declividade do tubo, em graus?

Passo 1

O enunciado dá estas informações:
  • Diâmetro do tubo: \,D=4\\ \text{ft}.
  • O tubo está cheio até a metade (profundidade normal = metade do diâmetro).
  • Vazão: \,Q=39\,500\\ \text{galões americanos por minuto}õ.
    A pergunta: qual é a declividade do tubo, em graus? (ou seja, o ângulo \theta entre o eixo do tubo e a horizontal).

Passo 2

Primeiro converto a vazão para unidades compatíveis com a fórmula de Manning (pés cúbicos por segundo).
Usarei 1\\ \text{ft}^3=7{,}48052\\ \text{galões}õ. Então
Q_{\text{ft}^3/\text{s}}= \frac{39500}{7{,}48052}\cdot\frac{1}{60}.
Calculemos numericamente:
Q=\frac{39500}{448{,}8312}\approx 88{,}006\\ \text{ft}^3/\text{s}.

Passo 3

Apresento a fórmula de Manning (unidades inglesas):
Q=\frac{1{,}49}{n}\,A\,R^{2/3}\,S^{1/2},
onde
  • Q é a vazão em \text{ft}^3/\text{s};
  • n é o coeficiente de rugosidade de Manning (adimensional);
  • A é a área molhada ( \text{ft}^2);
  • R é o raio hidráulico, R=A/P ( \text{ft}), com P perímetro molhado ( \text{ft});
  • S é a declividade (gradiente da linha de energia), adimensional; a inclinação em graus será \theta=\arctan(S).
Para concreto sem acabamento costuma-se usar n\approx 0{,}013. Vou adotar n=0{,}013 (valor típico em tabelas).

Passo 4

Calculo a área molhada A para um tubo circular meio cheio. A área total do círculo é
A_{\text{full}}=\frac{\pi D^2}{4}.
Como está meio cheio, a área molhada é metade da área total:
A=\frac{A_{\text{full}}}{2}=\frac{\pi D^2}{8}.
Com D=4\\ \text{ft}:
A=\frac{\pi\cdot 4^2}{8}=\frac{16\pi}{8}=2\pi\\ \text{ft}^2\approx 6{,}28319\\ \text{ft}^2.

Passo 5

O perímetro molhado P para meio círculo é metade da circunferência:
P=\frac{\pi D}{2}.
Com D=4\\ \text{ft}:
P=\frac{\pi\cdot 4}{2}=2\pi\\ \text{ft}\approx 6{,}28319\\ \text{ft}.
Assim o raio hidráulico é
R=\frac{A}{P}=\frac{2\pi}{2\pi}=1{,}0\\ \text{ft}.
(Belo resultado: para meio-tubo circular com D=4\\ \text{ft}, R=1\\ \text{ft}.)

Passo 6

Agora isolamos S na equação de Manning. Como R=1, tem-se R^{2/3}=1 e
Q=\frac{1{,}49}{n}\,A\,S^{1/2} \quad\Rightarrow\quad S=\left(\frac{Q\,n}{1{,}49\,A}\right)^{2}.
Substituindo os valores ( Q\approx 88{,}006\\ \text{ft}^3/\text{s}, n=0{,}013, A=2\pi):
S=\left(\frac{88{,}006\times 0{,}013}{1{,}49\times 2\pi}\right)^{2}.
Faço as contas em etapas:
88{,}006\times 0{,}013\approx 1{,}14408, \qquad 1{,}49\times 2\pi\approx 9{,}36195,
\frac{1{,}14408}{9{,}36195}\approx 0{,}12222, \qquad S\approx (0{,}12222)^2\approx 0{,}01494.

Passo 7

Por fim converto a declividade adimensional S em ângulo em graus. A inclinação em radianos é \arctan(S); em graus:
\theta=\arctan(S)\times\frac{180}{\pi}.
Substituindo S\approx 0{,}01494:
\theta\approx \arctan(0{,}01494)\times\frac{180}{\pi}\approx 0{,}856^\circ.

Resposta

\theta\approx 0{,}856^\circ

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