P10.16 Água escoa em um canal retangular de alvenaria de 2 m de largura, com uma declividade de 5 \mathrm{~m} / \mathrm{km}. (a) Encontre a vazão quando a profundidade normal for de 50 cm . (b) Se a profundidade normal permanecer 50 cm , encontre a largura do canal que triplicará a vazão. Comente este resultado.
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (lista clara dos dados e perguntas):
Largura do canal: b=2\\ \mathrm{m}.
Declividade do canal: 5\\ \mathrm{m/km}. (Isto equivale a uma declividade adimensional S.)
O canal é de alvenaria (isto fornece informação sobre a rugosidade, que será necessária).
As perguntas:
(a) Encontre a vazão Q quando a profundidade normal for 0,50\\ \mathrm{m}.
(b) Mantendo y=0,50\\ \mathrm{m}, encontre a largura b que faz a vazão ser o triplo da vazão do item (a).
Observação importante (que uso sem perguntar): é preciso um coeficiente de rugosidade para calcular Q; vou assumir um valor de Manning típico para alvenaria, n=0,013. Caso o professor use outro n, os números mudam proporcionalmente — explico mais adiante.
Passo 2
Fórmulas e conceitos que vamos usar (explicação didática).
Para escoamento uniforme em canal aberto costuma-se usar a fórmula de Manning (fácil e comum em provas):
Q=\frac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S^{1/2},
onde:
Q é a vazão (\mathrm{m^3/s});
n é o coeficiente de rugosidade de Manning (sem unidade);
A é a área da seção molhada (\mathrm{m^2});
R é o raio hidráulico (\mathrm{m}), definido como R=\dfrac{A}{P};
P é o perímetro molhado (\mathrm{m});
S é a declividade do leito (adimensional), isto é, a perda de carga por comprimento (ex.: 5\\ \mathrm{m/km}=0{,}005).
Para um canal retangular de largura b e profundidade y:
Área: A=b\,y.
Perímetro molhado: P=b+2y.
Raio hidráulico: R=\frac{A}{P}=\frac{b\,y}{b+2y}.
Vamos calcular primeiro A, P e R para os dados iniciais b=2\\ \mathrm{m} e y=0,50\\ \mathrm{m}.
Resposta do item (a) e comentário sobre o valor de n.
A vazão encontrada é \,Q\approx 2{,}62\\ \mathrm{m^3/s} (com n=0,013).
Comentário: se o valor real de n for diferente, Q varia aproximadamente inversamente com n (por exemplo, se n aumentar 10\%, Q diminui cerca de 10\%). Portanto é importante usar o n adotado pelo professor/guia de projeto para obter exatamente o mesmo número.
Passo 6
Resolução do item (b): encontrar b que triplica Q mantendo y e S iguais.
Seja Q_0 a vazão obtida em (a) com b_0=2\\ \mathrm{m} e Q(b) a vazão para largura b. Os fatores n e S são os mesmos, logo
Como y cancela, substituímos b_0=2 e R(b)=\dfrac{b\,y}{b+2y}=\dfrac{0{,}5\,b}{\,b+1\,} (lembre que 2y=1 porque y=0,5). Também R(b_0)=1/3. Assim obtemos a equação para b:
Esta é uma equação não-linear que resolvemos numericamente. Defina a função
f(b)=b\left(\frac{1{,}5\,b}{b+1}\right)^{2/3}-6,
e ache b tal que f(b)=0.
Passo 7
Solução numérica (método por tentativas/intervalo e interpolação, mostrado passo a passo):
Testes rápidos:
b=5{,}1: calcule r=\dfrac{1{,}5b}{b+1}=\dfrac{1{,}5\cdot5{,}1}{6{,}1}\approx 1{,}2553. Então b\,r^{2/3}\approx 5{,}1\cdot 1{,}1635\approx 5{,}9945\Rightarrow f(5{,}1)\approx -0{,}0055 (ligeiramente menor que zero).
Verificação rápida substituindo b\approx 5{,}154 dá b\,r^{2/3} muito próximo de 6, portanto Q(b)\approx 3Q_0.
Passo 8
Interpretação do resultado e comentário final (didático e motivador).
A largura necessária para triplicar a vazão mantendo y=0,50\\ \mathrm{m} é aproximadamente b\approx 5{,}15\\ \mathrm{m}.
Observação conceitual: aumentar a largura não aumenta a vazão simplesmente na mesma razão porque o raio hidráulico R também muda com b. Ao aumentar b o perímetro molhado aumenta menos proporcionalmente que a área, o que melhora R e portanto dá um ganho adicional na capacidade (por isso é preciso aumentar a largura menos do que um fator 3 para triplicar Q — aqui o aumento foi de 2{,}00\\ \mathrm{m}\to 5{,}15\\ \mathrm{m}, fator \approx 2{,}58, menor que 3).
Lembrete prático: resultado numérico depende do n adotado; se o professor usar outro n, recalcular substituindo na fórmula de Manning (a relação entre larguras para triplicar Q não depende de n, porque n cancela no quociente — isto é útil: a largura necessária para triplicar Qnão depende de n, apenas de y e S).