P10.16 Água escoa em um canal retangular de alvenaria de 2 m de largura, com uma declividade de 5 \mathrm{~m} / \mathrm{km}. (a) Encontre a vazão quando a profundidade normal for de 50 cm . (b) Se a profundidade normal permanecer 50 cm , encontre a largura do canal que triplicará a vazão. Comente este resultado.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (lista clara dos dados e perguntas):
  • Largura do canal: b=2\\ \mathrm{m}.
  • Declividade do canal: 5\\ \mathrm{m/km}. (Isto equivale a uma declividade adimensional S.)
  • Profundidade normal: y=50\\ \mathrm{cm}=0,50\\ \mathrm{m}.
  • O canal é de alvenaria (isto fornece informação sobre a rugosidade, que será necessária).
    As perguntas:
    (a) Encontre a vazão Q quando a profundidade normal for 0,50\\ \mathrm{m}.
    (b) Mantendo y=0,50\\ \mathrm{m}, encontre a largura b que faz a vazão ser o triplo da vazão do item (a).
    Observação importante (que uso sem perguntar): é preciso um coeficiente de rugosidade para calcular Q; vou assumir um valor de Manning típico para alvenaria, n=0,013. Caso o professor use outro n, os números mudam proporcionalmente — explico mais adiante.

Passo 2

Fórmulas e conceitos que vamos usar (explicação didática).
  • Para escoamento uniforme em canal aberto costuma-se usar a fórmula de Manning (fácil e comum em provas):
Q=\frac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S^{1/2},
onde:
  • Q é a vazão ( \mathrm{m^3/s});
  • n é o coeficiente de rugosidade de Manning (sem unidade);
  • A é a área da seção molhada ( \mathrm{m^2});
  • R é o raio hidráulico ( \mathrm{m}), definido como R=\dfrac{A}{P};
  • P é o perímetro molhado ( \mathrm{m});
  • S é a declividade do leito (adimensional), isto é, a perda de carga por comprimento (ex.: 5\\ \mathrm{m/km}=0{,}005).
  • Para um canal retangular de largura b e profundidade y:
    • Área: A=b\,y.
    • Perímetro molhado: P=b+2y.
    • Raio hidráulico: R=\frac{A}{P}=\frac{b\,y}{b+2y}.
Vamos calcular primeiro A, P e R para os dados iniciais b=2\\ \mathrm{m} e y=0,50\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Cálculo de A, P e R com substituição direta:
A=b\,y=2\cdot0,50=1,0\\ \mathrm{m^2}.
P=b+2y=2+2\cdot0,50=2+1=3,0\\ \mathrm{m}.
R=\frac{A}{P}=\frac{1,0}{3,0}=\frac{1}{3}\approx0,333333\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula de Manning. Primeiro convertendo a declividade:
S=\frac{5\\ \mathrm{m}}{1000\\ \mathrm{m}}=0,005.
Adotando n=0,013 (valor típico para alvenaria), temos:
-calcular R^{2/3}:
R^{2/3}=\left(\frac{1}{3}\right)^{2/3}\approx0,4807.
-calcular S^{1/2}:
S^{1/2}=\sqrt{0,005}\approx0,07071.
-agora Q:
Q=\frac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S^{1/2} =\frac{1}{0,013}\cdot 1{,}0\cdot 0{,}4807\cdot 0{,}07071.
Vamos multiplicar passo a passo:
0{,}4807\cdot 0{,}07071\approx 0{,}033995\!,
\frac{1}{0,013}\approx 76{,}9231,
Q\approx 76{,}9231\cdot 0{,}033995\approx 2{,}62\\ \mathrm{m^3/s}.

Passo 5

Resposta do item (a) e comentário sobre o valor de n.
  • A vazão encontrada é \,Q\approx 2{,}62\\ \mathrm{m^3/s} (com n=0,013).
    Comentário: se o valor real de n for diferente, Q varia aproximadamente inversamente com n (por exemplo, se n aumentar 10\%, Q diminui cerca de 10\%). Portanto é importante usar o n adotado pelo professor/guia de projeto para obter exatamente o mesmo número.

Passo 6

Resolução do item (b): encontrar b que triplica Q mantendo y e S iguais.
  • Seja Q_0 a vazão obtida em (a) com b_0=2\\ \mathrm{m} e Q(b) a vazão para largura b. Os fatores n e S são os mesmos, logo
\frac{Q(b)}{Q_0}=\frac{A(b)\,R(b)^{2/3}}{A(b_0)\,R(b_0)^{2/3}}.
Queremos Q(b)=3\,Q_0, portanto
3=\frac{b\,y\,[R(b)]^{2/3}}{b_0\,y\,[R(b_0)]^{2/3}}=\frac{b}{b_0}\left(\frac{R(b)}{R(b_0)}\right)^{2/3}.
  • Como y cancela, substituímos b_0=2 e R(b)=\dfrac{b\,y}{b+2y}=\dfrac{0{,}5\,b}{\,b+1\,} (lembre que 2y=1 porque y=0,5). Também R(b_0)=1/3. Assim obtemos a equação para b:
3=\frac{b}{2}\left(\frac{\dfrac{0{,}5\,b}{b+1}}{1/3}\right)^{2/3}.
Simplificando a razão dentro do parêntese:
\frac{\dfrac{0{,}5\,b}{b+1}}{1/3}=\frac{1{,}5\,b}{b+1}.
Logo a equação fica
6=b\left(\frac{1{,}5\,b}{b+1}\right)^{2/3}.
Esta é uma equação não-linear que resolvemos numericamente. Defina a função
f(b)=b\left(\frac{1{,}5\,b}{b+1}\right)^{2/3}-6,
e ache b tal que f(b)=0.

Passo 7

Solução numérica (método por tentativas/intervalo e interpolação, mostrado passo a passo):
  • Testes rápidos:
    • b=5{,}1: calcule r=\dfrac{1{,}5b}{b+1}=\dfrac{1{,}5\cdot5{,}1}{6{,}1}\approx 1{,}2553. Então b\,r^{2/3}\approx 5{,}1\cdot 1{,}1635\approx 5{,}9945 \Rightarrow f(5{,}1)\approx -0{,}0055 (ligeiramente menor que zero).
    • b=5{,}2: r\approx \dfrac{1{,}5\cdot5{,}2}{6{,}2}\approx 1{,}2581. Então b\,r^{2/3}\approx 5{,}2\cdot 1{,}1651\approx 6{,}0585 \Rightarrow f(5{,}2)\approx +0{,}0585.
  • A raiz está entre 5{,}10 e 5{,}20. Fazendo interpolação linear entre os dois pontos (bastante precisa aqui):
b\approx 5{,}10 + \frac{0-(-0{,}0055)}{0{,}0585-(-0{,}0055)}\cdot(5{,}20-5{,}10) \approx 5{,}10 + \frac{0{,}0055}{0{,}0640}\cdot 0{,}10 \approx 5{,}154.
  • Verificação rápida substituindo b\approx 5{,}154 b\,r^{2/3} muito próximo de 6, portanto Q(b)\approx 3Q_0.

Passo 8

Interpretação do resultado e comentário final (didático e motivador).
  • A largura necessária para triplicar a vazão mantendo y=0,50\\ \mathrm{m} é aproximadamente b\approx 5{,}15\\ \mathrm{m}.
  • Observação conceitual: aumentar a largura não aumenta a vazão simplesmente na mesma razão porque o raio hidráulico R também muda com b. Ao aumentar b o perímetro molhado aumenta menos proporcionalmente que a área, o que melhora R e portanto dá um ganho adicional na capacidade (por isso é preciso aumentar a largura menos do que um fator 3 para triplicar Q — aqui o aumento foi de 2{,}00\\ \mathrm{m}\to 5{,}15\\ \mathrm{m}, fator \approx 2{,}58, menor que 3).
  • Lembrete prático: resultado numérico depende do n adotado; se o professor usar outro n, recalcular substituindo na fórmula de Manning (a relação entre larguras para triplicar Q não depende de n, porque n cancela no quociente — isto é útil: a largura necessária para triplicar Q não depende de n, apenas de y e S).

Resposta

Q\approx 2{,}62\\ \mathrm{m^3/s}
b\approx 5{,}15\\ \mathrm{m}

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