Uma tubulação horizontal transporta 850 \mathrm{~L} / \mathrm{s} de água. Em A tem ela o diâmetro de 450 mm e a pressão de 0,700 \mathrm{Kg} / \mathrm{cm}^{2}; em B, o seu diâmetro é de 900 mm e a pressão de 0,763 \mathrm{Kg} / \mathrm{cm}^{2}. Calcular a perda de carga entre os dois pontos.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar tudo claramente):
  • Vazão volumétrica: Q = 850\\ \mathrm{L/s}.
  • Diâmetro em A: D_A = 450\\ \mathrm{mm}.
  • Diâmetro em B: D_B = 900\\ \mathrm{mm}.
  • Pressão em A: p_A = 0,700\\ \mathrm{kg/cm^{2}}.
  • Pressão em B: p_B = 0,763\\ \mathrm{kg/cm^{2}}.
  • A tubulação é horizontal (logo alturas z_A=z_B).
  • Pedido: calcular a perda de carga entre A e B, isto é, a perda de carga (carga de energia por unidade de peso) h_f entre os dois pontos.
Anotações importantes que vou usar (já que estamos sem calculadora simbólica especial): vou converter unidades para o SI, calcular áreas e velocidades, e aplicar a equação de Bernoulli para obter h_f.

Passo 2

Conversão de unidades para o SI (explicando cada conversão passo a passo):
  • Vazão: 1\\ \mathrm{L} = 10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}}. Logo
Q = 850\\ \mathrm{L/s} = 850\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}/s} = 0,85\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  • Diâmetros: 1\\ \mathrm{mm}=10^{-3}\\ \mathrm{m}. Logo
D_A = 450\\ \mathrm{mm} = 0,45\\ \mathrm{m},\qquad D_B = 900\\ \mathrm{mm} = 0,90\\ \mathrm{m}.
  • Pressão: a unidade dada é \mathrm{kg/cm^{2}}, que é a unidade técnica de quilograma-força por centímetro quadrado. Para o SI, converte-se para pascal ( \mathrm{Pa} = \mathrm{N/m^{2}}). Sabendo que 1\\ \mathrm{kgf}=9,80665\\ \mathrm{N} e 1\\ \mathrm{cm^{2}}=10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}}, tem-se
1\\ \mathrm{kg/cm^{2}} = \frac{9,80665\\ \mathrm{N}}{10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}}}=98\,066{,}5\\ \mathrm{Pa}.
Portanto
p_A = 0,700\cdot98\,066{,}5\\ \mathrm{Pa} = 68\,646{,}55\\ \mathrm{Pa},
p_B = 0,763\cdot98\,066{,}5\\ \mathrm{Pa} = 74\,831{,}75\\ \mathrm{Pa}.
  • Densidade e gravidade (valores usuais para água à temperatura ambiente):
\rho = 1000\\ \mathrm{kg/m^{3}},\qquad g = 9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 3

Calcular as áreas das seções e as velocidades usando a equação da continuidade Q = A V.
Área de seção circular:
A = \frac{\pi D^{2}}{4}.
  • Área em A:
A_A = \frac{\pi D_A^{2}}{4} = \frac{\pi(0,45)^{2}}{4} = 0,159043\\ \mathrm{m^{2}}\quad(\text{aprox.}).
  • Área em B:
A_B = \frac{\pi D_B^{2}}{4} = \frac{\pi(0,90)^{2}}{4} = 0,636172\\ \mathrm{m^{2}}\quad(\text{aprox.}).
Observação prática (útil para a prova): como D_B = 2D_A, então A_B = 4A_A. Assim, espera-se V_B = V_A/4.
Velocidades:
V_A = \frac{Q}{A_A} = \frac{0,85}{0,159043}\\ \mathrm{m/s}\approx 5{,}344\\ \mathrm{m/s},
V_B = \frac{Q}{A_B} = \frac{0,85}{0,636172}\\ \mathrm{m/s}\approx 1{,}336\\ \mathrm{m/s}.
Explicando a ideia: a continuidade diz que a mesma vazão atravessa qualquer seção; se a área aumenta, a velocidade diminui proporcionalmente (por isso D duplicado → área x4 → velocidade dividida por 4).

Passo 4

Escrever Bernoulli entre A e B e isolar a perda de carga h_f. A forma de Bernoulli (por unidade de peso) com perda de carga é:
\frac{p_A}{\rho g} + \frac{V_A^{2}}{2g} + z_A = \frac{p_B}{\rho g} + \frac{V_B^{2}}{2g} + z_B + h_f.
Como a tubulação é horizontal, z_A=z_B e cancelam. Logo isolamos h_f:
h_f = \frac{p_A - p_B}{\rho g} + \frac{V_A^{2}-V_B^{2}}{2g}.
Aqui, interpretação física: h_f é a diferença entre as cargas de pressão e as cargas cinéticas entre A e B; como há perdas por atrito e turbulência no trecho, essa diferença aparece como h_f\ge0.

Passo 5

Calcular numericamente cada termo da expressão de h_f.
  • Termo da pressão (carga de pressão):
\frac{p_A - p_B}{\rho g} = \frac{68\,646{,}55 - 74\,831{,}75}{1000\cdot9{,}81}\\ \mathrm{m} = \frac{-6\,185{,}20}{9\,810}\\ \mathrm{m}\approx -0{,}63068\\ \mathrm{m}.
Explicação: como p_B>p_A, esse termo é negativo — isto é, a pressão em B é mais alta, o que tende a reduzir a perda de carga calculada a partir das velocidades.
  • Termo cinético (carga de velocidade):
    Calcule V_A^{2} e V_B^{2}:
V_A^{2}\approx(5{,}344)^{2}\approx28{,}564\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}},
V_B^{2}\approx(1{,}336)^{2}\approx1{,}785\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}}.
Então
\frac{V_A^{2}-V_B^{2}}{2g} \approx \frac{28{,}564-1{,}785}{2\cdot9{,}81} = \frac{26{,}779}{19{,}62}\\ \mathrm{m}\approx 1{,}3658\\ \mathrm{m}.
Dica didática: em provas, se as áreas têm relação simples (aqui D_B=2D_A), use isso para simplificar cálculos de velocidade (por exemplo V_B=V_A/4) e do termo cinético, que pode ser escrito em função de uma só velocidade.

Passo 6

Somar os termos para obter h_f:
h_f = \left(\frac{p_A - p_B}{\rho g}\right) + \left(\frac{V_A^{2}-V_B^{2}}{2g}\right) \approx -0{,}63068 + 1{,}3658 = 0{,}7351\\ \mathrm{m}.
Interpretação final: a perda de carga entre A e B é positiva, cerca de 0{,}735\\ \mathrm{m}. Apesar de a pressão em B ser maior que em A (termo negativo), a redução significativa da velocidade de A para B (energia cinética liberada) faz com que o balanço resulte numa perda de carga menor que o termo cinético isolado, mas positiva.

Resposta

\,0,735\\ \text{m}

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