Um preaquecedor de óleo é constituído por um único tubo de 10[\mathrm{~mm}] de diâmetro e 5[\mathrm{~m}] de comprimento, com a sua superfície mantida a 175\left[{ }^{\circ} \mathrm{C}\right] por gases de combustão. O óleo de motor (novo) entra a 75\left[{ }^{\circ} \mathrm{C}\right]. Qual vazão deve ser alimentada para manter a temperatura de saída do óleo a 100\left[{ }^{\circ} \mathrm{C}\right] ? Qual é a taxa de transferência de calor correspondente?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo explicitamente):
  • Diâmetro interno do tubo: D=10\,[\mathrm{mm}]=0{,}01\,[\mathrm{m}].
  • Comprimento do tubo: L=5\,[\mathrm{m}].
  • Temperatura da superfície do tubo (mantida pelos gases): T_s=175\left[{}^\circ\mathrm{C}\right].
  • Temperatura de entrada do óleo: T_{\mathrm{in}}=75\left[{}^\circ\mathrm{C}\right].
  • Temperatura de saída desejada do óleo: T_{\mathrm{out}}=100\left[{}^\circ\mathrm{C}\right].
O enunciado pergunta:
  1. Qual vazão deve ser alimentada para que o óleo saia a 100\left[{}^\circ\mathrm{C}\right]? (vou dar vazão mássica e, por praticidade, a vazão volumétrica correspondente).
  2. Qual é a taxa de transferência de calor correspondente?
Observação importante: o enunciado não fornece propriedades térmicas do óleo nem coeficiente de transferência de calor convectivo. Para resolver sem perguntar nada mais, vou adotar hipóteses usualmente aceitas em exercícios desse tipo (vou explicitar e justificar em seguida):
  • Regime estacionário, escoamento unidimensional ao longo do tubo, sem perdas por condução axial do fluido.
  • Parede do tubo mantida a temperatura constante T_s (condição dada).
  • Escoamento plenamente desenvolvido termicamente e hidrodinamicamente (hipótese que permite usar um valor padrão de Nusselt para escoamento laminar desenvolvido com parede a temperatura constante).
  • Propriedades do óleo constantes (média entre T_{\mathrm{in}} e T_{\mathrm{out}}).

Passo 2

Hipóteses numéricas de propriedades do óleo (valores típicos usados em problemas didáticos; se o enunciado real fornecesse outros valores, substituir os números):
  • Calor específico do óleo: c_p=2000\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
  • Condutividade térmica do óleo: k=0{,}13\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
  • Densidade do óleo: \rho=900\\ \mathrm{kg/m^3}.
Justificativa da hipótese sobre o coeficiente convectivo:
  • Para escoamento laminar plenamente desenvolvido em um tubo circular com superfície a temperatura constante existe um valor médio de Nusselt independente de Reynolds e Prandtl: \mathrm{Nu}=3{,}66. Usarei esse valor (hipótese usual em exercícios quando não são dados dados de escoamento).
  • A partir de \mathrm{Nu} obtém-se o coeficiente convectivo interior h pela relação \mathrm{Nu} = \dfrac{hD}{k}.
Aviso: se o escoamento fosse turbulento ou as propriedades/condições diferentes, h mudaria e, portanto, a vazão necessária mudaria. Aqui seguimos a hipótese acima para ter um resultado numérico.

Passo 3

Equação de energia diferencial (derivação didática e passo a passo).
Considere um trecho diferencial de tubo de comprimento dx. Na seção transversal o óleo tem temperatura média T(x). Balanço de energia no estado estacionário (energia acumulada nula) diz que a variação de energia convectiva no fluido é igual ao fluxo de calor da parede para o fluido ao longo de dx:
\dot{m} c_p\,\frac{dT}{dx} = h\,P\,(T_s - T),
onde:
  • \dot{m} é a vazão mássica do óleo \left[\mathrm{kg/s}\right];
  • c_p é o calor específico \left[\mathrm{J/(kg\cdot K)}\right];
  • h é o coeficiente convectivo interior \left[\mathrm{W/(m^2\cdot K)}\right];
  • P é o perímetro interno do tubo \left[\mathrm{m}\right]; para tubo circular P=\pi D;
  • T_s é a temperatura da superfície (constante) e T=T(x) é a temperatura média do óleo em x.
Reorganizando:
\frac{dT}{dx} = \frac{hP}{\dot{m}c_p}\,(T_s - T).
Isto é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Integrando de x=0 (entrada, T(0)=T_{\mathrm{in}}) até x=L (saída, T(L)=T_{\mathrm{out}}) obtemos a solução exponencial padrão:
T(x) = T_s + \bigl(T_{\mathrm{in}}-T_s\bigr)\exp\!\Bigl(-\frac{hP}{\dot{m}c_p}\,x\Bigr).
Em particular, para x=L:
T_{\mathrm{out}} = T_s + \bigl(T_{\mathrm{in}}-T_s\bigr)\exp\!\Bigl(-\frac{hP L}{\dot{m}c_p}\Bigr).
Esta fórmula é muito útil na prova: ela relaciona \dot{m} com as temperaturas conhecidas, o coeficiente h e a geometria P,L.
Nota pedagógica: não é necessário converter as temperaturas para Kelvin porque diferenças de temperatura em °C e K são numericamente iguais; usamos apenas diferenças como T_s-T.

Passo 4

Isolando \dot{m} da expressão para T_{\mathrm{out}}.
Reescrevendo a equação:
\frac{T_{\mathrm{out}}-T_s}{T_{\mathrm{in}}-T_s} = \exp\!\Bigl(-\frac{hP L}{\dot{m}c_p}\Bigr).
Aplicando logaritmo natural e isolando \dot{m}:
\ln\!\left(\frac{T_{\mathrm{out}}-T_s}{T_{\mathrm{in}}-T_s}\right) = -\frac{hP L}{\dot{m}c_p},
\dot{m} = -\frac{hP L}{c_p\;\ln\!\left(\dfrac{T_{\mathrm{out}}-T_s}{T_{\mathrm{in}}-T_s}\right)}.
Este é o resultado algébrico que usaremos numericamente. Atenção ao sinal do logaritmo: como aqui T_{\mathrm{in}}<T_s e T_{\mathrm{out}}<T_s, os numeradores e denominadores são negativos e a razão é positiva menor que 1, logo o logaritmo é negativo; o sinal menos faz com que \dot{m} fique positivo.

Passo 5

Calcular h a partir de \mathrm{Nu}=3{,}66 e k.
  • Perímetro interno: P=\pi D=\pi(0{,}01)=\pi\cdot0{,}01\\ \mathrm{m}=0{,}031416\\ \mathrm{m}.
  • Área de troca (superfície lateral): A_s = P\cdot L = 0{,}031416\cdot5 = 0{,}15708\\ \mathrm{m^2}.
  • Coeficiente convectivo:
h = \frac{\mathrm{Nu}\,k}{D} = \frac{3{,}66\cdot 0{,}13}{0{,}01} = 3{,}66\cdot13 = 47{,}58\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.

Passo 6

Agora calculamos numericamente \dot{m}. Primeiro calcule a razão dentro do logaritmo:
T_{\mathrm{in}}-T_s = 75-175 = -100\\ \mathrm{K},
T_{\mathrm{out}}-T_s = 100-175 = -75\\ \mathrm{K},
\frac{T_{\mathrm{out}}-T_s}{T_{\mathrm{in}}-T_s} = \frac{-75}{-100} = 0{,}75,
\ln(0{,}75) \approx -0{,}28768.
Aplicando a fórmula:
\dot{m} = -\frac{h P L}{c_p\;\ln(0{,}75)}.
Substituindo números:
hPL = 47{,}58\cdot 0{,}031416\cdot 5 = 47{,}58\cdot 0{,}15708 \approx 7{,}473\\ \mathrm{W/K}.
\dot{m} = -\frac{7{,}473}{2000\cdot(-0{,}28768)} = \frac{7{,}473}{575{,}36} \approx 0{,}01299\\ \mathrm{kg/s}.
Arredondando com sentido prático: \dot{m}\approx 0{,}0130\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 7

Converter para vazão volumétrica (útil na prática):
\dot{V} = \frac{\dot{m}}{\rho} = \frac{0{,}01299}{900}\\ \mathrm{m^3/s} \approx 1{,}444\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^3/s}.
Em unidades mais usuais:
1{,}444\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^3/s} = 0{,}01444\\ \mathrm{L/s} \approx 0{,}866\\ \mathrm{L/min}.
Ou por hora:
0{,}01444\\ \mathrm{L/s}\times 3600 \approx 52\\ \mathrm{L/h}.

Passo 8

Calcular a taxa de transferência de calor correspondente. A forma mais direta é usar a energia transportada pelo fluido:
\dot{Q} = \dot{m}\,c_p\,(T_{\mathrm{out}}-T_{\mathrm{in}}).
Substituindo:
\dot{Q} = 0{,}01299\cdot 2000\cdot (100-75) = 0{,}01299\cdot 2000\cdot 25.
\dot{Q} = 0{,}01299\cdot 50{,}000 \approx 649{,}5\\ \mathrm{W}.
Arredondando: \dot{Q}\approx 650\\ \mathrm{W}.
Para conferir, poderia-se também calcular \dot{Q}=h A_s (T_s - T_{\mathrm{m,equiv}}) com uma temperatura média efetiva, mas a conta direta com \dot{m}c_p\Delta T é suficiente e exata para o balanço de energia.

Passo 9

Resumo das hipóteses e sensibilidade:
  • Resultado obtido sob as hipóteses de propriedades constantes e \mathrm{Nu}=3{,}66 (escoamento laminar plenamente desenvolvido, parede de temperatura constante). Se na prática o escoamento não for laminar plenamente desenvolvido ou as propriedades reais do óleo forem diferentes, o coeficiente h mudará e a vazão necessária será diferente.
  • Em particular, um h maior (por ex. escoamento turbulento ou óleo com maior condutividade) reduziria a vazão requerida; um h menor aumentaria a vazão.

Resposta

Vazão mássica: 0{,}0130\\ \mathrm{kg/s} (vazão volumétrica \approx 0{,}0144\\ \mathrm{L/s}\approx 0{,}866\\ \mathrm{L/min}).
Taxa de transferência de calor: \dot{Q}\approx 650\\ \mathrm{W}.

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