Uma tubulação industrial de aço galvanizado com diâmetro nominal de 3" transporta água quente a 60^{\circ} \mathrm{C}. Ela tem comprimento total de 100 \mathrm{~m}, 2 válvulas gaveta, 1 válvula retenção e 7 cotovelos de 90^{\circ}. As condições na entrada da tubulação são: \mathrm{z}_{1}=15 \mathrm{~m} ; \mathrm{p}_{1} / \gamma=1,5 \mathrm{mca}\left({ }^{*}\right) (tanque pressurizado); e na saída: z_{4}=30 \mathrm{~m} ; \mathrm{p}_{4} / \gamma=0 \mathrm{mca}\left({ }^{*}\right) (descarga livre). Uma bomba centrífuga será instalada nessa tubulação para promover uma descarga de 40.000 \mathrm{l} / \mathrm{h}. A bomba requer um \mathrm{NPSH}_{\mathrm{r}} de 3 mca. Calcule:
a) a altura de elevação dessa bomba [mca];
b) a potência transferida ao fluido [kW].
c) Desprezando as perdas de carga na admissão e considerando a instalação “em sucção”, qual seria a máxima cota z_{2} (entrada da bomba) para que não ocorra cavitação?
Comente o resultado!
(*) leitura de manômetro; considere pressão atmosférica equivalente a 10,0 mca.

Passo 1

O enunciado pede 3 coisas:
  1. a) Calcular a altura de elevação da bomba (ou seja, a carga/altura que a bomba deve acrescentar ao fluido) em metros de coluna d’água ( \mathrm{mca}).
  2. b) Calcular a potência transferida ao fluido (potência hidráulica) em \mathrm{kW}.
  3. c) Desprezando perdas de carga na admissão e considerando a instalação “em sucção”, determinar a máxima cota \mathrm{z}_{2} (cota na entrada da bomba) para que não ocorra cavitação, dado que a bomba requer \mathrm{NPSH}_{\mathrm{r}}=3\\ \mathrm{mca}.
Dados fornecidos (vou listar exatamente o que o enunciado deu):
\begin{aligned} &\text{tubulação: diâmetro nominal }3''\\\ &\text{comprimento total }L=100\\ \mathrm{m}\\\ &\text{2 válvulas gaveta, 1 válvula de retenção, 7 cotovelos }90^\circ\\\ &\text{entrada (tanque pressurizado): }z_1=15\\ \mathrm{m},\quad \frac{p_1}{\gamma}=1{,}5\\ \mathrm{mca}\\ (\text{leitura de manômetro})\\\ &\text{saída (descarga livre): }z_4=30\\ \mathrm{m},\quad \frac{p_4}{\gamma}=0\\ \mathrm{mca}\\\ &\text{vazão }Q=40\,000\\ \mathrm{L/h}=40\\ \mathrm{m^3/h}\\\ &\mathrm{NPSH}_r=3\\ \mathrm{mca}\\\ &\text{considere pressão atmosférica equivalente a }10{,}0\\ \mathrm{mca}\\\ &\text{água a }60^\circ\mathrm{C.} \end{aligned}çãâááçãôíããéá
Observação importante (assunções que preciso fazer porque o enunciado não dá certos detalhes): vou assumir
  • diâmetro interno padrão para tubulação galvanizada 3" (NPS 3", Schedule 40) igual a \;d=0{,}0779\\ \mathrm{m}\; (valor comercial típico);
  • rugosidade absoluta para aço galvanizado \epsilon=0{,}15\\ \mathrm{mm}=1{,}5\times10^{-4}\\ \mathrm{m};
  • coeficientes de perda local (valores típicos de tabela): válvula gaveta (aberta) K_{\mathrm{gaveta}}=0{,}2 cada; válvula de retenção K_{\mathrm{reten}}=1{,}0; cotovelo 90° K_{\mathrm{cot}}=0{,}3 cada.
    Também usarei propriedades da água a 60^\circ\mathrm{C}: densidade \rho\approx983{,}2\\ \mathrm{kg/m^3} e viscosidade cinemática \nu\approx4{,}75\times10^{-7}\\ \mathrm{m^2/s}. Vou declarar e justificar cada uso ao aplicar as fórmulas.

Passo 2

Converter vazão e calcular área e velocidade média na tubulação (a velocidade entra em praticamente todas as contas).
  1. Converter vazão para \mathrm{m^3/s}:
Q=\frac{40\\ \mathrm{m^3}}{3600\\ \mathrm{s}}=0{,}011111\\ \mathrm{m^3/s}.
  1. área da seção transversal (círculo) e velocidade média:
A=\frac{\pi d^2}{4},\quad d=0{,}0779\\ \mathrm{m}.
Calculemos:
A=\frac{\pi(0{,}0779)^2}{4}\approx0{,}0047676\\ \mathrm{m^2}.
A velocidade média é
v=\frac{Q}{A}=\frac{0{,}011111}{0{,}0047676}\approx2{,}33\\ \mathrm{m/s}.
Breve explicação (didática): a área de um círculo é \pi d^2/4. A velocidade média é simplesmente vazão dividida pela área: se a água passa com 0{,}0111\\ \mathrm{m^3/s} por uma seção de área 0{,}00477\\ \mathrm{m^2}, a “altura” de coluna que passa por segundo dá essa velocidade.

Passo 3

Determinar o regime do escoamento (reynolds) para escolher fórmula de atrito.
  1. Reynolds:
\mathrm{Re}=\frac{v d}{\nu}=\frac{2{,}33\cdot 0{,}0779}{4{,}75\times10^{-7}}\approx3{,}82\times10^{5}.
Como \mathrm{Re}\gg4000, o escoamento é turbulento. Isso justifica o uso da fórmula de Colebrook/Swamee–Jain para o fator de atrito de Darcy.
Explicação: \mathrm{Re} compara forças inerciais com viscosas; para tubos, \mathrm{Re}<2000 laminar, >4000 turbulento; entre os dois é transição.

Passo 4

Calcular o fator de atrito de Darcy \;f\; (usarei fórmula explícita de Swamee–Jain, que é conveniente em cálculo manual e suficientemente precisa).
Fórmula de Swamee–Jain:
f=0{,}25\left[\log_{10}\!\left(\frac{\epsilon/d}{3{,}7}+\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\right)\right]^{-2}.
Calcular termos:
\frac{\epsilon}{d}=\frac{1{,}5\times10^{-4}}{0{,}0779}\approx1{,}93\times10^{-3}.
\frac{\epsilon/d}{3{,}7}\approx5{,}216\times10^{-4},\qquad \frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\approx5{,}43\times10^{-5}.
Soma interna:
\frac{\epsilon/d}{3{,}7}+\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\approx5{,}759\times10^{-4}.
\log_{10}(5{,}759\times10^{-4})\approx-3{,}239.
Logo
f=0{,}25\left(-3{,}239\right)^{-2}\approx0{,}0238.
Breve explicação: f é adimensional e aparece na fórmula de Darcy–Weisbach que dá perda de carga por atrito contínuo ao longo do tubo.

Passo 5

Calcular perdas de carga por atrito (perdas “maiores”) usando Darcy–Weisbach:
h_f=f\frac{L}{d}\frac{v^2}{2g}.
Substituindo:
\frac{L}{d}=\frac{100}{0{,}0779}\approx1283{,}7.
Velocidade de cabeça cinética:
\frac{v^2}{2g}=\frac{(2{,}33)^2}{2\cdot 9{,}81}\approx0{,}2770\\ \mathrm{m}.
Portanto
h_f=0{,}0238\cdot 1283{,}7\cdot 0{,}2770\approx8{,}47\\ \mathrm{m}.
Explicação: essa é a perda de carga distribuída ao longo dos 100\\ \mathrm{m} por atrito viscoso na parede do tubo.

Passo 6

Calcular perdas localizadas (minor losses) associadas às válvulas e cotovelos. Usei valores típicos de catálogos (expliquei acima). Soma dos K:
K_{\mathrm{tot}}=2K_{\mathrm{gaveta}}+K_{\mathrm{reten}}+7K_{\mathrm{cot}} =2(0{,}2)+1{,}0+7(0{,}3)=0{,}4+1{,}0+2{,}1=3{,}5.
Perda localizada:
h_m=K_{\mathrm{tot}}\frac{v^2}{2g}=3{,}5\cdot 0{,}2770\approx0{,}97\\ \mathrm{m}.
Comentário didático: cada peça confere uma perda equivalente a um número K multiplicando a cabeça cinética \tfrac{v^2}{2g}. Somei K’s porque as perdas estão em série.

Passo 7

Perda de carga total no trecho (maior + menores):
h_{L}=h_f+h_m\approx8{,}47+0{,}97=9{,}44\\ \mathrm{m}.

Passo 8

Calcular a altura de elevação que a bomba precisa fornecer ( \mathrm{H}, em \mathrm{mca}) usando a equação de Bernoulli com bomba (sem considerar variação de velocidade entre entrada e saída, ou seja, velocidade igual e cancelando a cabeça cinética):
Equação simplificada:
\left(\frac{p_1}{\gamma}+z_1\right)+H=\left(\frac{p_4}{\gamma}+z_4\right)+h_{L}.
Isolando H:
H=\left(\frac{p_4}{\gamma}+z_4\right)-\left(\frac{p_1}{\gamma}+z_1\right)+h_{L}.
Substituindo números (lembre que \tfrac{p_4}{\gamma}=0\\ \mathrm{mca}, \tfrac{p_1}{\gamma}=1{,}5\\ \mathrm{mca}, z_4=30\\ \mathrm{m}, z_1=15\\ \mathrm{m}):
H=(0+30)-(1{,}5+15)+9{,}44=30-16{,}5+9{,}44=22{,}94\\ \mathrm{m}.
Interpretação: a bomba precisa acrescentar aproximadamente \;22{,}94\\ \mathrm{mca}\; para vencer a diferença de cota, a pressão do tanque e as perdas ao longo da tubulação.

Passo 9

Calcular a potência hidráulica (potência transferida ao fluido), sem considerar a eficiência da bomba (é a potência útil que o fluido recebe):
Fórmula:
P=\rho g Q H.
Usando \rho\approx983{,}2\\ \mathrm{kg/m^3}, g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}, Q=0{,}011111\\ \mathrm{m^3/s}, H=22{,}94\\ \mathrm{m}:
Calculemos passo a passo:
\gamma=\rho g\approx983{,}2\cdot 9{,}81\approx9{,}644{,}4\\ \mathrm{N/m^3}.
QH=0{,}011111\cdot 22{,}94\approx0{,}25489\\ \mathrm{m^3\cdot m/s}.
P=\gamma QH\approx9{,}644{,}4\cdot 0{,}25489\approx2{,}459\\ \mathrm{kW}.
Arredondando: P\approx2{,}46\\ \mathrm{kW}.
Explicação: isso é a potência hidráulica requerida; a potência no eixo da bomba será maior, na razão inversa da eficiência da bomba (não fornecida aqui).

Passo 10

Determinar a máxima cota \mathrm{z}_2 (entrada da bomba) para não ocorrer cavitação, desprezando perdas na admissão (ou seja, sem perdas entre o tanque e a entrada da bomba).
Conceito e fórmula de \mathrm{NPSH}_{\mathrm{a}} disponível:
\mathrm{NPSH}_{a}=\frac{p_{\text{abs, superfície}}}{\gamma}+z_1-z_2-h_{\text{adm}}-\frac{p_v}{\gamma}+\frac{v^2}{2g}.í
Aqui:
  • p_{\text{abs, superfície}}/\gammaí é a pressão absoluta convertida em metros de água no topo do corpo de líquido do tanque;
  • p_v/\gamma é a pressão de vapor convertida em metros de água (a partir da pressão de vapor da água à 60^\circ\mathrm{C});
  • h_{\text{adm}} são perdas entre o tanque e a boca da bomba (desprezadas segundo enunciado, então h_{\text{adm}}=0);
  • o termo +v^2/(2g) é a cabeça cinética na entrada da bomba.
Primeiro obtenha a pressão absoluta no fluido do tanque: o enunciado deu leitura de manômetro \tfrac{p_1}{\gamma}=1{,}5\\ \mathrm{mca} (ou seja, pressão acima da atmosférica). Como a pressão atmosférica vale 10{,}0\\ \mathrm{mca}, a pressão absoluta em termos de altura de coluna d’água é
\frac{p_{\text{abs}}}{\gamma}=10{,}0+1{,}5=11{,}5\\ \mathrm{mca}.
Pressão de vapor da água a 60^\circ\mathrm{C}: p_v\approx19{,}92\\ \mathrm{kPa}. Em termos de \mathrm{mca}:
\frac{p_v}{\gamma}=\frac{19{,}920\\ \mathrm{Pa}}{\rho g}\approx\frac{19{,}920}{9{,}644{,}4}\approx2{,}07\\ \mathrm{m}.
(outra forma: tabela de pressão de vapor → cerca de 2{,}07\\ \mathrm{mca} a 60^\circ\mathrm{C}).
Agora formule \mathrm{NPSH}_a com h_{\text{adm}}=0, usando z_1=15\\ \mathrm{m}, v^2/(2g)=0{,}2770\\ \mathrm{m}:
\mathrm{NPSH}_a=11{,}5+15-z_2-2{,}07+0{,}277.
Somando constantes:
\mathrm{NPSH}_a=24{,}707 - z_2\quad(\text{m}).
Para não cavitar, é necessário \mathrm{NPSH}_a\ge \mathrm{NPSH}_r=3\\ \mathrm{m}. Assim:
24{,}707 - z_2 \ge 3 \quad\Rightarrow\quad z_2 \le 24{,}707-3 =21{,}707\\ \mathrm{m}.
Arredondando, a máxima cota permitida é aproximadamente
z_2^{\max}\approx21{,}71\\ \mathrm{m}.
Interpretação rápida: isso significa que, mesmo com a bomba localizada acima do nível do tanque ( z_1=15\\ \mathrm{m}), desde que a entrada da bomba esteja abaixo de 21{,}71\\ \mathrm{m} não haverá cavitação, porque o tanque está pressurizado (adicionando cabeça disponível) e a pressão de vapor e velocidade foram consideradas.

Passo 11

  • Resultado numérico principal: a bomba precisa acrescentar cerca de \;22{,}94\\ \mathrm{mca}\; e a potência hidráulica correspondente é \;2{,}46\\ \mathrm{kW}.
  • Sobre \mathrm{z}_2^{\max}: deu \approx21{,}71\\ \mathrm{m}. Note que isso é maior que z_1=15\\ \mathrm{m}, ou seja, a bomba pode estar alguns metros acima do nível do tanque e ainda assim não cavitar graças à pressurização do tanque e à pequena \mathrm{NPSH}_r exigida. Parece bom, mas atenção:
    • Eu desprezei perdas de admissão (o enunciado pediu isso). Na prática, se houver tubulação longa, filtros, curvas ou válvulas entre tanque e bomba, essas perdas reduzirão a \mathrm{NPSH}_a e a \mathrm{z}_2^{\max} deverá ser menor.
    • Usei valores típicos para diâmetro interno, rugosidade e K das peças. Se os valores reais forem diferentes, H e \mathrm{z}_2^{\max} mudam um pouco.
    • A potência no eixo da bomba será maior que 2{,}46\\ \mathrm{kW} pela eficiência da bomba. Escolha da bomba deve considerar margem de segurança e eficiência.
  • Em prova: explique sempre as suposições (diâmetro interno, \epsilon, K), mostre cálculo do \mathrm{Re}, escolha da fórmula de f e uso da equação de Bernoulli com perdas — isso garante nota e mostra que você sabe o raciocínio.

Resposta

(a) H\approx22{,}94\\ \mathrm{mca}
(b) P\approx2{,}46\\ \mathrm{kW}
(c) z_{2,\max}\approx21{,}71\\ \mathrm{m}

Exercícios relacionados